克莱姆法则的证明及应用

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1、克莱姆法则及其应用前言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆（Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。1.预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。现在就给介绍一下系数行列式。设含有n个未知量n个方程的axax+++=ab1111221n1a

2、xax+++=ab2212222n2aa+++=abn12nnnn（1-1）其系数构成的行列式aaa11121naaa21222nD=aaan12nnn称为方程组（1-1）的系数行列式。1.克莱姆法则的定义克莱姆法则（CramerRule）：一个含有n个未知量n个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式D≠0时，有且仅有一个解：DDD12nxx=,=,,x=.12nDDD（1-2）Djbb1,,,bn期中J是将D的第列换成常数项2而其余列不变的行列式。即aabaa111,jjn−+111,11aabaa212,jjn−+122,12D=j

3、aabaan1nj,1−+nnj,1nn=bA+bA++bA,(j=1,2,n).11j22jnnj2.克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1克莱姆法则的一般证明方法在给在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。现在就有一般方法来证明克莱姆法则。Djxjn=,(=1,2,,)j证首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把D代入（1-1）中第一个方程，得DDD112na+a++a=()aDaD+++aD11121n1111221nnDDDD1=[abA11(111

4、+bA221+bAnn1)(+abA12112+bA222+bAnn2)++abA1n(11n+bA22n+bAnnn)]D1=baAaA1(1111++1212aA1nn1)+baAaA2(1111++1212aA1nn1)++baAaAn(1111++1212aA1nn1)D1=[bDb12+⋅++⋅=00bn]b1DabA()++bAbA11111221nn11=+abA()++bAbA+12112222nn2D+abA()++bAbA1n11n22nnnnbaAaA1(1111++1212aA1nn1)1=+

5、baAaA2(1111++1212aA1nn1)+D+baAaAn(1111++1212aA1nn1)1=[bDb12+⋅++⋅=00bn]b1D这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。xkxk==,,xk=其次，设11,22nn是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得n个恒等式，再用D的第j列元素aa12j,,,janj的代数余子式AA12J,,,JAnj依次乘所得的n个恒等式的两端再相加，得Aakak:,+++ak+

6、+akb=1j1111221jj1nn1Aakak:+++ak++akb=2j2112222jj2nn2Aakak:,+++ak++akb=njn11n22njjnnnn00k+++++kDkak=D,12jnnnjDk=Dj,=1,2,,.n即jjDjkjn=,=1,2,,.D≠0,j由知D(kk12,,,kn)这就是说，如果是方程组（1-1）的一个解，则Djkjnj=,(=1,2,,).D即方程组只有一个解。2.1.2克莱姆法则的一般证明方法的应用例1解线性方程组3xxx+−+=x−3,1234xxxx−++=4,12342xxx

7、x++−=27,1234x+2xx=+=6.134解由于方程组的系数行列式3111−1112−D==−≠130,2121−1021故由Cramer法则知此方程有唯一解，又因为−−31114112−D==−≠130,17121−60213311−−1412D==26,22721−16213131−1142−D==−39,32171−10613113−−1114−D==13,421271026所以方程的唯一解是：DDDD1234xxxx====1,−==