[高等教育]14克莱姆法则

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1、上　课手机关了吗？9/26/20211第一章行列式复习：行列式按某行(列)展开定理及推论ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnjai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)推论综合定理及推论得:9/26/20212第一章行列式n个未知量n个方程的线性方程组,在系数行列式不为零时的行列式解法,称为克莱姆(Cramer)法则.设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组或表示为1.4克莱姆(Cramer)法则9/2

2、6/20213第一章行列式定理1设线性非齐次方程组(*)的系数行列式则(*)有唯一解其中,(j＝1,2,…,n)即:(j＝1,2,…,n)9/26/20214第一章行列式证明:(1)是解.(2)解唯一.(1)将代入(*)左端,(*)＝bi(i＝1,2,…,n)[注](j=1,2,…,n)又将Dj按第j列展开，得(2)若有一组数x1,x2,…,xn满足(*),则＝D1同理Dx1＝Dxj＝Dj6注:用克莱姆法则解线性方程组的条件——或表示为齐次线性方程组:齐次线性方程组必有零解有否非零解？(1)方程个数＝未知量个数(2)系数行列

3、式D≠0方程个数≠未知量个数及D＝0的情形以后讨论9/26/20217第一章行列式定理2齐次线性方程组当时只有零解,没有非零解.定理3齐次线性方程组有非零解,则注:定理3说明D＝0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.后面将证明也是充分条件.即：齐次线性方程组有非零解D≠0D＝0(定理2的逆否命题)9/26/20218第一章行列式同理D1=81,D2=－108,D3=－27,D4=27∴x1=3,x2=－4,x3=－1,x4=1例1解线性方程组解:=27≠0=－9/26/20219第一章行列式例2k取何值时,线性方程组解:有唯

4、一解?＝6(2－k)≠0∴k≠2时方程组有唯一解9/26/202110第一章行列式例3问取何值时,齐次线性方程组解:有非零解的充分必要条件D＝0有非零解?由D＝0得9/26/202111第一章行列式例4(03考研)已知齐次线性方程组其中试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.D≠0D＝09/26/202112第一章行列式解每行元素之和相同，2——n列加至首列13∴(1)b≠0且时方程组仅有零解；(2)b＝0或时方程组有非零解.9/26/202114第一章行列式例5(96考研)

5、解方程组其中ai≠aj(i,j=1,2,…,n)解≠0∵ai≠aj(i≠j)易见D1=D,D2=D3=…=Dn=0∴x1=1,x2=x3=…=xn=0方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关.线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论.为了明确一些结论成立的条件.引入数域概念:定义设F是一数集,.若F中任意两个数(可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F中的数,即F对四则运算封闭,则称F为一个数域.全体整数组成的集合不是数域,有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域,分别称为有理数域、实数域和复数域.本课程的数域F均

6、指实数域R或复数域C,其它数域在本课程中不进行深入讨论.注：关于数域概念9/26/202116第一章行列式习题课——行列式计算方法小结：利用行列式的定义；化三角形法；拆行(列)法；4.按某一行(列)或某k行(列)展开；5.数学归纳法；6.利用范德蒙行列式的结论；7.递推法；8.加边法(升阶法)。9/26/202117第一章行列式解:=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2)=72D0=576,D1=-72,D2=-144,D3=72∴a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1思考题已知三次曲线y=

7、f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点x=±1,x=±2处的值f(1)=f(-1)=f(2)=6，f(-2)=-6，试求其系数a0,a1,a2,a3.D=y=f(x)=8-x-2x2+x39/26/202118第一章行列式复习Ch1作业：P33：10(2),11,12,13做《练习卷》(下次习题课带来)9/26/202119第一章行列式＝a11+a12+…+a1n+a21+a22+…+a2n+an1+an2+…+ann+…＝a11+a21+…+an1+a12+a22+…+an2+a1n+a2n+…+ann+…返回

8、9/26/202120第一章行列式下课9/26/202121第一章行列式复习Ch1作业：P31：5(2),6，7做《练习卷》(下次习题课带来)9/26/202122第一章行列式作业：P41(四川)20(2),21(2)，22预习§3.1复习Ch1Cramer法则的优点:用方程的系数及常数项