克莱姆法则及矩阵.ppt

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1、克莱姆法则矩阵及其运算如果线性方程组的系数行列式D不等于零，则方程组有唯一解●行列式的应用——Crammer法则（1）证明例1用Cramer法则求解线性方程组解系数行列式为所以小结：Crammer法则的使用有极大的局限性（1）Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组；（2）Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法则失效。（3）计算量大，要计算n+1个n阶行列式的值。如何解决这些问题呢？留待第七章解决。●齐次线性方程组常数项全为零的线性方

2、程组，称为齐次线性方程组。这样的方程组一定有解，至少有零解根据Crammer法则，当系数行列式D≠0时，齐次线性方程组只有唯一的零解；否则，当系数行列式D=0时，齐次线性方程组有非零解（无穷多个）。例2当k为何值时，下面的方程组只有零解？解因为系数方程组的行列式为所以当k≠5且k≠1时，原方程组只有零解例3当λ、μ为何值时，下面的方程组有非零解？解因为系数方程组的行列式为所以当λ=1或μ=0时，原方程组有非零解用加减消元法求解二元一次方程组（1）（2）得得●矩阵的引入当时可见，在求解方程组的过程中，只有方程组的系数和常数项进行运算，未知量只是进行同类项的合并

3、。在日常生活中，我们也经常关心一些数表：如价格表、股票行情表、财务报表等等，这些重要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵来表示。的第一个下标称为行标，第二个下标称为列标。其中：称作矩阵的元素。矩阵的定义（见书P233定义1）简称为矩阵，简记作矩阵的一般形式如下：●矩阵的概念称为方程组的增广矩阵称为方程组的系数矩阵设有线性方程组线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。等……●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。等……几种特殊形式的矩阵等……●零矩阵——所有元素都为零的矩阵，简记作。●方阵——行数和列数相等的矩阵。如：等

4、……二阶方阵三阶方阵n阶方阵如等……●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作。●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，简记作。如：等……●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：等……●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如：只有矩阵与矩阵同型注意：同型是相等的必要条件。●相等矩阵：若两矩阵同型且对应位置上的元素相等，则称相等，记作。如：且，例题：已知求的值。，，关系式●矩阵的基本运算及性质

5、（1）交换律A+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）●矩阵的加法（见P234定义2）矩阵加法的运算规律：注意：只有同型矩阵才能相加。例显然成立●矩阵的减法设，则称矩阵为A的负矩阵，记作。若A、B为同型矩阵，则规定即，●数乘矩阵（见教材P235定义3）如：若，则注意：数乘矩阵时，矩阵的每一元素都要乘以常数K。等……数量矩阵●数乘矩阵的运算规律：设，，求满足方程的。课堂练习●矩阵的乘法（见教材P235定义4）设则其中行列左矩阵右矩阵A的列数B的行数例如：无意义！左边矩阵右边矩阵的列数的行数注意：AB存在，BA无意义，例题：计算下列各题（1）（2）

6、AB与BA不同型同型但不相等。（3）（4）（5）（6）特殊AB=BA（1）一般地，，即乘法不满足交换律。（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。小结与特别地，有：，即可交换。（8）（7）或矩阵的乘法运算不满足消去律●矩阵相乘的运算规律：一般地：或若A是方阵，则乘积有意义，记作称为A的k次幂。或（1）（2）（3）（4）（5）性质●线性方程组的矩阵表示法（2）——（1）若记：则方程组（1）可记为：●矩阵A的转置（见教材P237定义5）或如如果，则●矩阵转置的运算规律：验证（4）式：答案A为对称矩阵A为反对称矩阵反对

7、称矩阵：如果，则称矩阵A为反对称矩阵。对称矩阵：如果，则称矩阵A为对称矩阵。●方阵的行列式1、方阵的行列式设A为n阶方阵，则保持A的元素及排列方式不变而得到的n阶行列式，称为方阵A的行列式，记作detA或（determinant）如则数表数值2、方阵的行列式的性质●矩阵运算的应用1、两个商店（用行表示），三种商品（用列表示）在一月和二月的销售量分别表示为矩阵A和B，如要考察二月比一月的销售量增加了多少，应如何计算？结果如何？如要计算两个月的销售量之和，应如何计算？结果如何？增加量总和答案2、毗邻的甲乙两城计划建造两类住宅，计划数量如矩阵A，两类住宅对三种构件

8、的需求数量如矩阵B，制造各种构件需要三种原料的数量如