哈工大研究生课程-高等结构动力学-第三章

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1、第三章多自由度系统的振动在工程实际中,有很多问题需要简化为多个自由度系统模型.§3.1引言本章研究内容⒈多自由度系统建模;2.两自用度系统的自由振动;3.两自用度系统的受迫振动;4.”拍“的现象;5.多自由度系统的振动(解偶分析法)§3.2多自由度系统振动微分方程建立的方法1.达朗贝尔原理:在应用上比较简单,但是它对一些比较复杂约束较多的结构也有不便之处.2.拉格朗日方程(Lagrange)设系统具有n个自由度,以n个广义坐标表示系统的位形,系统的势能为V,系统的动能为TLagrange函数为:拉格朗日方

2、程为:系统的势能只是坐标的函数,有:为对应有势力以外的其它非有势力的广义力(不含阻尼力).对于线性系统我们研究系统在平衡位置附近的微幅振动,取静平衡位置作为坐标的原点,{q}0={0},作Taylor级数展开:为势能在平衡位置处的大小,(0)0表示(0)在平衡位置处的值。如果势能从平衡位置算起,则有则有写成矩阵形式:动能:代入拉格朗日方程:写成矩阵形式:例m解:选用广义坐标和对于线性系统运动,运动是微幅的代入动能和势能:作用于系统的广义力沿x方向为F(t),沿方向为代入Lagrange方程:刚度矩阵中的影

3、响系数为表示系统中仅在j点产生一单位位移(而其余各点均无位移)而在系统的i点处所需施加的力。即柔度矩阵与刚度矩阵互逆3.刚度法与柔度法建立振动微分方程建立运动微分方程关键在于求得系统的刚度矩阵与柔度矩阵为柔度影响系数,表示在系统的j点作用单位力时,在系统的i点产生的位移。321P=1321P=1由互等定理可知设各点的力矢量为,位移为则有柔度:指单位外力所引起的系统位移通过柔度矩阵建立的振动微分方程为:如图所示,均质梁在所示平面内作自由振动,梁上有集中质量块为,与自身质量不计,求其振动微分方程。例2.一不记

4、质量的简支梁上安装三个质量均为m的质量块。如在梁中间的位置处作用一简谐激励且当t=0时,试求系统的响应。解:设则有§3.3两自由度系统的振动两个自由度系统是多自由度系统中最简单的情况,如果确定一个振动系统的独立参数只有两个,称这一系统为两个自由度系统。如§2.1无阻尼自由振动选两物块静平衡位置为广义坐标和的起始位置整理以后得:{写成矩阵形式:设其解为:1.各个质点按同一频率振动;2.振动的形式保持不变。二阶齐次常微分方程组代入上式:设则有称为特征方程或频率方程即得.从小到大依次为系统的第一阶固有频率和第二

5、阶固有频率,第一阶的称为基频。振型的求解:将代入到频率方程中是求不出、但可求得振幅比。{写成矩阵形式:其通解为简写称为系统的第一阶和第二阶主振型,主振型也称为主模态。例一.已知:两层框架结构楼房,k1、k2分别为层间侧向位移刚度,求振型和频率。解:建立两自由度系统的振动微分方程可得整理代入数值:频率方程:得求振型1:振型2:一阶振型二阶振型例二.求图示体系的频率、振型解令1111第一振型第二振型对称体系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型1111第一振型第二振型作业p174:3-1;3-6;3-

6、15

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