第2章 系统的数学模型

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1、第2章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.2系统的传递函数2.3系统的传递函数方框图及其简化2.4考虑扰动的反馈控制系统的传递函数2.5相似原理2.6系统的状态空间模型2.8设计示例：数控直线工作台位置控制系统首先讨论在机械工程控制中如何列写线性系统的微分方程及列写微分方程主义的问题；其次阐述传递函数形式的数学模型，阐明传递函数的定义与特性、传递函数方框图与简化方法；然后阐述系统的另一种数学模型—系统的状态空间模型，这是现代控制的基础。最后介绍设计示例—数控直线工作台位置控制系统的建模。1)建立数学模型的意

2、义（1）可定性地了解系统的工作原理及其特性;（2）更能定量地描述系统的动态性能;（3）揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。2)系统数学模型的形式（1）最基本形式是微分方程,它在时域中描述系统(或元件)动态特性；（2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合。3)数学模型的建立方法建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅就分析法进行讨论。(1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。(2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并

3、根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。4)线性系统与非线性系统定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程：如果系数均为常数，则式为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重点。若系数是时间t的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。若系数不为常数,方程就是非线性的，相应的系统也称为非

4、线性系统。线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在于：线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线性化。本质非线性系统：例如电气系统中某些元件存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与设计。这方面内容，本课程不作要求。2.1系统的微分方程一、用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法(1)确定系统或各元

5、件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)进行适当的简化，忽略次要因素；(3)从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；(4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(5)标准化。整理所得微分方程，输出量降幂排列＝输入量降幂排列一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。例1：图示机械系统m-c-k，列写微分方程。1.明确：2.牛

6、顿第二定律列写原始微分方程：3.整理：系统输入f(t)系统输出x(t)例2：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入u(t)，输出电量q2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理例3：列写微分方程1.明确：输入T，输出x(t)2.微分方程：3.消除中间变量f、q，并整理：q0例4：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入u1，输出u22.列写微分方程：3.消除中间变量i1、i2，并整理：注意虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路

7、的i2要影响第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。本例如果不考虑负载效应时，有：第一级：第二级：消去中间变量得到：显然与前面得到的结果不同。例5直流电动机1.明确输入与输出：输入ua和ML，输出w2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理：电机的反电势ed反电势常数kd电磁力矩M电磁力矩常数km得设平衡点设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型当偏离平衡点时，有则增量化即有1.增量化方程与实际坐标方程形式相同2.当平

8、衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。二、微分方程的增量化表示前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。(1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：此时，对应输入输出量可表示为：则有这就是系统的稳态。（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：得：考虑到，上式可变