组合数学-第七节：整数的分拆

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1、2.6正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。定义2.6.1正整数n的一个k分拆是把n表示成k个正整数的和（2.6.1）的一种表示法，其中叫做该分拆的分部量。如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。反之，若表达式（2.

2、6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。这时，叫做该有序分拆的第i个分部量。n的k分拆的个数称为n的k分拆数，n的所有分拆（k取遍所有可能的值）的个数称为n的分拆数。例如：是4的所有3个有序3分拆。在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。而：是4的唯一一个3分拆。2.6.1有序分拆在这一小节中，我们介绍n的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n的有序分拆的计数公式。定理2.6.1正整数n的有序k分拆的个数为。证明正整数n分成k个分部量的一个有序分拆

3、：，等价于方程：。的正整数解，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n的有序k分拆的个数为。由定理2.3.4和定理2.6.1，正整数n的有序k分拆数等于多重集合的至少出现一次的n组合数，均为。定理2.6.2（1）正整数n的有序k分拆，要求第i个分部量大于等于，其个数为：（2）正整数2n分拆成k个分部，各分部量都是正偶数的有序分拆个数为。（3）正整数n分成k个分部，若n与k同为奇数或同为偶数，则n的各分部量都是奇数的有序分拆数为：证明（1）设：（2.6.2）是n满足条件：（2.6.3）的一个有序k分拆。令：且满足方程：（2.6.4）即是方程（2.6.4）的一组非负整数解。反之，若给定方程（

4、2.6.4）的一组非负整数解，令，则构成n的一个有序k分拆（2.6.2），且满足条件（2.6.3）。所以，n的满足条件（2.6.3）的有序k分拆与方程（2.6.4）的非负整数解之间构成一一对应。由定理2.3.3的证明知，其个数为：（2）设2n的一个有序k分拆：满足条件：为偶数（2.6.5），令，则有：即是n的一个有序k分拆。反之，设是n的一个有序k分拆，令，则是2n的一个满足条件（2.6.5）的有序k分拆。所以，2n满足条件（2.6.5）的有序k分拆数等于n的有序k分拆数，为。（3）n的各分部量为奇数的分拆：与的各分部量为偶数的分拆：显然构成一一对应。由（2）知，n的各分部量为奇数的分拆数

5、为：定理2.6.2给出了几种不同限定条件下的有序分拆数。2.6.2无序分拆我们用来表示n的k分拆的个数，用表示n的所有分拆的个数，则显然有（1）；（2）n的k分拆中，各分部量的次序无关紧要，一般按递降顺序排列。若：则：如果在n的k分拆中有个分部量为，那么可以把该分拆记为：有时也记为：例如，的所有5分拆为：表2.6.1列出了当时n的所有k分拆。定理2.6.3n的k分拆数满足递推关系：（2.6.6）（2.6.7）证明由的定义易知等式（2.6.7）成立，下面证明递推关系（2.6.6）为此，我们考虑n分成至多k个分部的分拆，这样的分拆总数为n的每个分成至多k个分部的分拆可表示为：这个和式中包含k项

6、，并且：我们将n的这个m分拆映射到的k分拆如下：该和式中包含k项，并且：设上面确定的映射为，因为不同的n分为至多k个分部的分拆对应着不同的k分拆，所以是单射。又因为每个的k分拆：在作用下的原像是每个减去1，再保留不为零的那些项而得到的n的一个分部数至多为k的分拆，所以是满射。因此，是一一映射，于是有：定理2.6.3提供了对逐行递推的计算方法，见表2.6.2，例如：例1正整数n的2分折数为：其中，表示小于等于的最大整数。证明设n的2分拆为：因，所以恰能取1，2，……，中的任一个，故：2.6.3分拆的Ferrers图研究分拆数性质的一种简单有效的组合手段就是Ferrers图，设n的一个k分拆为

7、（2.6.8）我们在一条水平直线上画个点，在其下面一条直线上画个点，且使这两条直线上的第一个点在同一条竖线上，其他点依次与上一行的点对齐；依此类推，最后在第k条直线上画个点，第一个点与前面各行的第一个点均在同一条竖线上，其他点依次与上面各行的点对齐，这样得到的点阵图叫做n的k分拆（2.6.8）的Ferrers图例如，15的4分拆：（2.6.9）的Ferrers图如图2.6.1所示。图2.6.1反过来，对于n的一个Ferr