《工学偏微模型》ppt课件

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1、数学建模培训一阶偏微分方程模型偏微分方程的相关概念偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶。如：等。如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的。2定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的解（古典解）。满

2、足某些特定条件的解称为特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解。3一阶线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程(1)显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为(2)4常微分方程组(3)称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线称为方程(2)的特征线。5若由特征方程组(3)推出函数恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为则特征方程组(3)的通解为6例1.求解方程组解：由得，因此得到一个首次积分为再由

3、得，因此得到另一个首次积分为于是原方程的隐式通解为7由(3)可得(4)若(4)的一个首次积分为的一个首次积分。于是得到方程组(3)的一个等价形式：，则它也称为(3)8对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论：证明从略。定理1：连续可微函数是(2)的解的充分必要条件是是(4)的首次积分。定理2：如果是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数　　　是(2)的通解。9例2.求解方程解：特征方程组为或首次积分为于是原方程的隐式通解为，其中为任意二元连续可微函数。10齐次线性偏微分方程的Cauchy问题(5)其中f为已知

4、函数。例3.求解Cauchy问题11解：特征方程组为首次积分为于是原方程的通解为，其中为任意二元连续可微函数。将该解代入初始条件，得12于是从而原Cauchy问题的解为13非齐次线性偏微分方程(6)其中f,g为已知函数。其特征方程组为将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。14一阶拟线性偏微分方程(7)其特征方程组为(8)以两个自变量的方程为例。设其首次积分为，则(7)的隐式通解为15例4.求解方程解：特征方程组为首次积分为于是原方程的隐式通解为其中为任意二元连续可微函数。16例5.求解Cauchy问题解：特征方程组为首次积分

5、为于是原方程的隐式通解为其中为任意二元连续可微函数。将该解代入初始条件，得于是有，解得再由初始条件得Cauchy问题的解为17带年龄结构的线性人口发展模型线性模型的建立考虑一个稳定社会的人口发展过程。设人口数量不仅和时间t有关，还和年龄a有关。若人口数量很大，假设按年龄连续分布。以函数p(a,t)表示人口在任意时刻t按年龄a的分布密度，则在时刻t，年龄在区间[a,a+da]中的人口数量为p(a,t)da，因此在时刻t的人口总数为18若不考虑死亡，则在时刻t+t，年龄在[a,a+a]中的人口数量p(a,t+t)a，应等于在时刻t，年龄在区间[a−t,a

6、+a−t]中的人口数量p(a−t,t)a，即令t0，有因此p(a,t)应满足19但实际上必须考虑死亡的影响。设(a)是单位时间内年龄在[a,a+da]中的人口死亡概率，则在时间段[t,t+dt]内，从年龄在区间[a−dt,a]中的人口成长为年龄在区间[a,a+dt]中的人口的过程中死亡人数为于是或将两端同时Taylor展开，并舍去高阶项，有20这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。(1)方程(1)对应的初始条件为，这里p0(a)表示初始人口分布密度。要给出方程(1)所对应的边界条件p(0,t)，就需要考虑人口的出生情况了。假设男女比例基本平衡，

7、生育率为(a)，则在时间段[t,t+dt]内出生的婴儿总数为21另一方面，在时间段[t,t+dt]内出生的婴儿总数应等于时刻t+dt在年龄区间[0,dt]中的人数p(0,t+dt)dt，即或令dt0，则得到边界条件方程(1)与初始条件、边界条件一起便构成了人口发展的偏微分方程模型：22(2)同样，可建立带迁移的人口模型：(3)其中f(a,t)为迁移率。23利用特征线法结合积分变换法，可以得出模型(2)及模型(3)的解。我们来求解(2)。(2)的特征方程组为由知(2)的特征线为于是由知24对任意t>0，a>0，点(a,t)必位于某条特征线上。当C>0即t

8、，特征线位于直线a=t下