图像强化去噪的一种偏微模型.pdf

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1、2003年　12月北京师范大学学报(自然科学版)Dec.2003第39卷　第6期JournalofBeijingNormalUniversity(NaturalScience)Vol.39No.63图像强化去噪的一种偏微模型郇中丹　孔令海　黄海洋(北京师范大学数学系,100875,北京∥第一作者47岁,男,教授)摘要　给出了图像处理中加强去噪的一种方法.具体作法是在能量泛函中用模糊算子作用后的原图像与获得图像之间的距离代替原图像与获得图像之间的距离.实验结果表明,这样的处理不仅加强了去噪效果,而且保持

2、了现有处理方法的其他优点.建立了与这一模型对应的流方程Cauchy问题的逼近问题的古典解的存在惟一性,使得这类问题的讨论完善化了.关键词　去噪;模糊算子;黏性解分类号　O241.81　模型与数值结果20世纪90年代以来,通过偏微分方程研究图像修复与图像分割的工作(简称为偏微[127](PDE)方法)取得了迅速进展,其基本想法是把问题转化成是求在一定约束条件下能量泛函的最小值问题.由于相应的Euler2Lagrange方程的奇异性,为了获得强制性,人们考虑与Euler2Lagrange方程(有时是有所修

3、正的)相应流方程的初值问题.Barcelos和Chen在文献[8]中利用了能量泛函β2E(u)=∫{α(x)

4、Du

5、+(u-I)}dx,(1)Ω2n其中u:Ω→R表示图像,它给出图像在区域Ω各点的灰度值,Ω0为常数,Du为u的梯度,α(x)是在边缘点(

6、Du

7、=∞)上取0,在同质区域(Du=0)上取1的光滑,I为获得图像函数.人们一般所获得的不是真实的图像u,而是经过种种干扰后的获得图像I.我们注意到You和Kaveh在文献[9]讨论的含噪蜕化图像模型I(x)=A

8、u(x)+N(x),x∈Ω,(2)n这里Ω=[0,1],N(x)为白噪声,一般认为是Gauss噪声,当Au=u时,模型(2)为含噪模型.在大多数场合取A为模糊算子Au(x)=∫d(x,y)u(x-y)dy,(3)D其中d(x,y)是点扩散函数,D=D(x)为d(x,·)的支集.d满足条件:①∫d(x,y)dy=1;D②d(x,y)≥0.基于模型(2),我们认为在能量泛函(1)中用模糊算子A对u作用的结果Au替代其第2项中的u更为合理,因此考虑下面的能量泛函:3国家自然科学基金资助项目(19571010

9、)收稿日期:2003203205734北京师范大学学报(自然科学版)第39卷　2β2E(u)=∫α(x)

10、Du

11、+

12、Au-I

13、dx.(4)Ω2与此相应的Euler2Lagrange方程为23div(α(x)(Du/

14、Du

15、))-βA(Au-I)=0,(5)边值条件是5u/5n

16、+5Ω×R=0.(6)3A是A的共轭算子.将式(5)整理后得到23α(x)div(Du/

17、Du

18、)+2α(x)Dα(x)·Du/

19、Du

20、-βA(Au-I)=0.[8,10]为减少数值计算时由分母上的

21、Du

22、造成的误差,将式(5)

23、两边乘以

24、Du

25、,得到23α(x)

26、Du

27、div(Du/

28、Du

29、)+2α(x)Dα(x)·Du-β

30、Du

31、A(Au-I)=0其相应的流方程(其中α可以与t有关)23ut=α

32、Du

33、div(Du/

34、Du

35、)+2αDα·Du-β

36、Du

37、A(Au-I).如同文献[8]所做的那样,在对上式右端的第3项添加系数α后,就得到我们的模型:23ut=α

38、Du

39、div(Du/

40、Du

41、)+2αDα·Du-βα

42、Du

43、A(Au-I),x∈Ω,t>0,u(x,0)=I(x),x∈Ω,5u(x,t)=0,x∈Ω×(0,∞).5

44、n(7)2模型中的I(x)为获得图像,α=g(DGσ3u)=1/(1+K

45、DGσ3u

46、),K是正常数,Gσ(x)=21-

47、x

48、2[8]exp().α(x)被用来控制扩散速度,而β为权衡参数.4πσ4σ我们将初边值问题(7)的存在惟一性化为寻求相应的初值问题的22周期解的存在惟一性nn问题.初值€I(x)是I(x)先对x的各个分量作偶延拓到[-1,1]上,然后在R上再对各个变[3]量作周期2延拓.为了叙述的简洁和与数值模拟的讨论一致,我们仅讨论模糊算子A为Gauss型算子的情况,即点扩散函数d(x,y)

49、=Gσ(y)(在数值计算中σ0比α中的σ要小).0在下面的讨论中,我们用到如下的一些记号:R+=(0,∞),ei=(δ1i,⋯,δni)(i=1,⋯,n),Di表示对xi偏导算子.对于n阶矩阵X,Tr(X)表示起对角线元素的和,

50、X

51、为X平方范2数,即

52、X

53、=Tr(XX′).nnn对于τ=(τ1,⋯,τn)∈R+.设f:R→R,如果对任何x∈R和i=1,⋯,n,f(x+τiei)=nnf(x),就说f是τ周期的.同样对于u:R×[0,T]→R,如果对任何