偏微(10)对流扩散方程.ppt

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1、3对流扩散方程对流扩散方程如果给定初值则（3.1）(3.2)构成了对流扩散方程的初值问题则成为对流占优扩散方程如果3对流扩散方程对流扩散方程3.1中心显式格式格式（3.3）的截断误差为如果是对流方程不稳定的差分格式。来讨论现对（3.3）可改写为3对流扩散方程如果令此差分格式的增长因子为即差分格式稳定的充分条件为3对流扩散方程此差分格式的增长因子为因为的充分条件是即差分格式稳定的充分条件为3对流扩散方程上式可改写为因为的充分条件是即差分格式稳定的充分条件为3对流扩散方程因为所以上面不等式满足条件为即差分格式稳定的充分条件为3对流扩散方程（3.3）的稳定性限制为

2、3.2修正中心显示格式设为对流扩散方程（3.1）的充分光滑的解，**代入＊＊3.2修正中心显示格式**代入＊＊3.2修正中心显示格式设为对流扩散方程（3.1）的充分光滑的解，将其代入(3.3)3.2修正中心显示格式利用Taylor级数展开有3.2修正中心显示格式3.2修正中心显示格式中心显示差分格式（3.3）求解（3.1）式相当于求解微分方程:当时，（3.6）就是对流扩散方程（3.1）。3.2修正中心显示格式当时，（3.6）就是对流扩散方程（3.1）。3.2修正中心显示格式用(3.3)计算时扩散效应减少因此引入修正中心显式格式效果显著3.2修正中心显示格式因

3、此引入修正中心显式格式逼近对流扩散方程（3.1）的截断误差为（3.7）与（3.3）的区别在于用（3.4）和（3.5）知（3.7）的稳定性条件为：用代入第一式有（3.7）的稳定性条件为3.2修正中心显示格式（3.3）的稳定性限制为恒成立3.3迎风差分格式（3.4）可以看出，当小时，时间步长必相当小。其办法相当于在一阶空间偏导数的离散中采用单边差商，那么逼近（3.1）式的迎风差分格式为可以把（3.9）式写成（3.3）式的形式，即那么逼近（3.1）式的迎风差分格式为可以把（3.9）式写成（3.3）式的形式，即令可以得到（3.9）式的稳定性条件为稳定性的第一个条件等

4、价于3.3迎风差分格式利用稳定性的第二个条件可得到稳定性的第一个条件等价于3.3迎风差分格式而利用不等式令稳定性条件为：3.4Samarskii格式设a>0，先对方程（3.1）作扰动对（3.11）构造迎风格式（3.11）式化为（3.1）式。时Samarskii格式3.4Samarskii格式推导（3.12）式的截断误差，Samarskii格式设为对流扩散方程（3.1）的充分光滑的解，3.4Samarskii格式用Taylor级数展开令用Taylor级数展开有3.4Samarskii格式用Taylor级数展开有3.4Samarskii格式由于所以3.4Sama

5、rskii格式利用3.4Samarskii格式Samarskii格式稳定的条件为：3.5指数型差分格式对（3.14）式积分可以得到其中通解（3.14）中有两个待定常数。定态的对流扩散方程相应于那么有3.5指数型差分格式3.5指数型差分格式把代入通解有3.5指数型差分格式上式改变写法有改变其形式对流扩散方程(3.1)(3.14)(3.16)式相比较，给出（3.1）的差分格式3.5指数型差分格式(3.17)为逼近对流扩散方程(3.1)的指数型差分格式3.5指数型差分格式如果在（3.18）中不考虑3.5指数型差分格式此格式为中心显式格式截断误差为:考虑:设u为对流

6、扩散方程（3.1）的光滑解，3.5指数型差分格式利用Taylor展开有利用Taylor展开有应用到有由此得（3.17）的截断误差为3.5指数型差分格式（3.17）的截断误差为利用（3.19）可得3.5指数型差分格式中心显示格式的稳定条件:中心显式（3.17）的稳定性条件为（3.19）3.5指数型差分格式利用（3.19）可得P103考察指数格式Samarskii格式迎风格式之间的关系取h充分小，由此可以看出，（3.20）式化为迎风差分格式（3.9）P100设a>0，想把指数格式改写为：如果那么（3.20）式化为SamarskiiP101考察指数格式Samars

7、kii格式迎风格式之间的关系3对流扩散方程指数型差分格式迎风差分格式为Samarskii格式迎风格式、Samarskii都是指数格式在某种情况下的近似3.6隐式格式考虑Crank---Nicolson型隐式差分格式其中二阶精度增长因子3.6隐式格式Crank---Nicolson二阶精度增长因子由于及上式的分母为正，所以有从而得出隐式格式（3.21）是无条件稳定的。3.6隐式格式