专题11 函数与方程-2020年高考数学一轮复习（文理通用）（解析版）

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1、专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，

2、使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（　　）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）

3、＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B． 【再练一题】函数f（x）＝log8x的一个零点所在的区间是（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）＝log8x的连线增函数，∵f（1）＝00，f（2）＝log820，可得f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B． 思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法．【题型二】函数零点个数的判断【

4、典型例题】已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log3

5、x

6、的零点个数共有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），取x＝x+1，得：f（x+1+1）＝f（1﹣x﹣1），所以f（x+2）＝f（﹣x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．因为当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x，由偶函数可知，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，所以函数f（x）的图象是f（x）＝x在[﹣1，1]

7、内的部分左右平移2个单位周期出现，0求函数g（x）＝f（x）﹣

8、log3x

9、的零点个数，就是求两函数y＝f（x）与y＝

10、log3x

11、的交点个数，由于log33＝1，所以两函数在（0，3]内有2个交点，根据对称性可知：[﹣3，0）内有2个交点，所以交点总数为4个，所以函数g（x）＝f（x）﹣

12、log3x

13、的零点个数为4．故选：D． 【再练一题】已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数是（　　）A．4B．3C．2D．1【解答】解：已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数，即方程πx的解的个数．当x＞0时，方程即x+1，故该方程解的个数即函数y＝x+1与函数y的图象

14、的交点个数．当x＜0时，方程即x﹣1，故该方程解的个数即函数y＝x﹣1与函数y的图象的交点个数，数形结合可得，方程πx的解的个数为2，故选：C． 思维升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断．【题型三】函数零点的应用命题点1　根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣ax+1，∴x＞0，，∵f（x）在x

15、＝1处取到极值，∴f′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，∴实数a的值为1．（2）∵x＞0，，由f′（x）＝0，得x当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，∴f（）是函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多只有一个零点，∴f（）＝ln0，解得0＜a＜1，此时，，且f（）＝﹣110，f（）

16、＝2﹣2lna1＝3﹣2lna，（0＜