专题08 对数与对数函数-2020年高考数学一轮复习（文理通用）（解析版）

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1、专题08指数与指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型.基础知识融会贯通1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有

2、意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和

3、性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．重点难点突破【题型一】指数幂的运算【典型例题】若0＜a＜1，b＞0，且，则ab﹣a﹣b等于（　　）A．B．2或﹣2C．﹣2D．2【解答】解：∵，∴a2b+a﹣2b＝8﹣2＝6．∴（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4．∵0＜a＜1，b＞0，∴ab＜a﹣b，则ab﹣a﹣b＝﹣2．故选：C． 【再练一题】设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（　　）A．B．C．D．【解答】解：由题意故选：C． 思维升华(1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先

4、后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【题型二】指数函数的图象及应用【典型例题】函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（　　）A．yB．y＝

5、x﹣2

6、C．y＝2x﹣1D．y＝log2（2x）【解答】解：函数f（x）＝y＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，即x﹣1＝0，可得x＝1，那么：y＝1．∴恒过点A（1，1）．把x＝1，y＝1带入各选项，经考查各选项，只有A没有经过A点．故选：A． 【再练一题】函数的图象的大致形状是（　　）A．B．C．D．【

7、解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x），∴x＞0时，图象与y＝ax在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝ax的图象关于x轴对称，故选：C． 思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【题型三】指数函数的性质及应用命题点1　指数函数单调性的应用【典型例题】已知函数f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），则a，b，c的大小关系为（　　

8、）A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（）x，则f（x）在R上为减函数，又由20.3＜21＜2＜log25，则a＞b＞c；故选：B． 【再练一题】下列不等关系式正确的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A幂函数y在（0，+∞）上是增函数，则，故A错误，B．函数y在R上是增函数，则，故B错误，C．幂函数y在（0，+∞）上是减函数，则，故C正确，D．函数y＝0.7x在R上是减函数，则，故D错误，故选：C． 命题点2　与指数函数有关的复合函数的单调性【典型例题】已知函数．（1）判断f（x）的单调性；（2）求f（x）的值域；（3）解方程f（x

9、）＝0；（4）求解不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）此函数由y＝t2+t﹣2与t两个函数复合而成，由于t是一个减函数，且其值域为（0，+∞），函数y＝t2+t﹣2在（，+∞）是增函数，此复合函数外增内减，故是单调递减函数；（2）由（1）内层函数的值域是（0，+∞），外层函数在（0，+∞）上是增函数，故函数的值域为（﹣2，+∞）；（3）由f（x）＝0得t2+t﹣2＝0，解得t＝﹣2（舍）或t＝1，令解得x＝