【素材】《平行四边形的性质》利用平行四边形的性质解（证）题（人教版）

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1、利用平行四边形的性质解（证）题平行四边形具有：对边平行、对角相等、对边相等、对角线互相平分等性质，因此这些性质为我们提供了证线段平行、相等，角相等，两线段互相平分的新方法，在证明这些问题时，可证他们所在的四边形是平行四边形．下面举例说明平行四边形的性质在解（证）题中的应用。一、求角度例1．平行四边形ABCD中，∠A-∠B=，则∠A=_____;∠B=______;∠C=_____;∠D=_____.分析：设∠B为x，则∠A为+x.∵ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=即x++x=.∴x=∴∠A=，∠B=.由于平行四边

2、形对角相等，所以∠C=，∠D=.评注：（1）在解决求平行四边形的内角的度数问题时，应注意抓住两个等量关系:①平行四边形对角相等②平行四边形邻角互补（2）当题目未明确等价角的度数，而是给了两个角的关系时，应注意运用方程来求解.二、求线段长例2．如图1，在□ABCD中，如果AB＝5，AD＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_______.图1分析：观察图形，容易看出DF＝CF－CD.又，CD＝AB＝5，那么要求DF的长，应先确定CF的长.解：在□ABCD中，因为AB∥CF，所以∠ABE＝∠F

3、.因为BE平分∠B＝∠ABC，所以∠CBF＝∠ABE＝∠F.所以CF＝BC＝AD＝9.所以DF＝CF－CD＝4.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对边平行和对边相等的性质.三、求周长例3．已知：如图2，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EDF=，BE=8，BF=14，求□ABCD的周长.DEBFAC图2分析：平行四边形的周长是相邻两边长度之和的2倍，因而只要利用平行四边形的性质求出相邻两边的长，问题即可解决.解:∵ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.∵∠CDF=，∴∠A=∠CDF=.∵BF⊥AD，BF

4、=14，∴AB=2BF=28.∵∠A=∠C(平行四边形的对角相等)∴∠C=.∵BE⊥CD，BE=8，∴BC=2BE=16.∴平行四边形ABCD的周长为:2(AB+BC)=2(28+16)=88.评注：在平行四边形的解题过程中，要善于联系以往学习的有关知识，如此题用到了在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的知识.四、求线段的取值范围例4．如图3，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是（）（A）10＜m＜12（B）2＜m＜22（C）1＜m＜11（D）5＜m

5、＜6.图3分析：要求m的取值范围，应考虑与AB有关的三角形的三边之间的不等关系.结合题中条件，应考虑△OAB三边之间的不等关系.解：在平行四边形ABCD中，因为对角线AC和BD相交于点O，所以OA＝AC＝6，OB＝BD＝5.因为OA－OB＜AB＜OA＋OB，所以1＜m＜11.评注：本题的解答过程中，运用了平行四边形的对角线互相平分的性质.五、证明线段相等例5．如图4，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．则BF＝AC．说明理由图4分析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形

6、ABNC．证明：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、CN，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝AC．评注：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．六、证明线段的不等关系例6．如图5，已知△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点，且DB=CE，试说明DE>BC．图5解析：因为

7、DE、BC不在同一三角形中，其大小不好比较，把DE沿着AB平移到BF，连结CF、EF，则可得四边形BDEF为平行四边形，从而得出∠BFE=∠BDE，EF=BD=CE，∠CFE=∠FCE，又因为∠BCF=∠BCE-∠FCE，∠BFC=∠BFE-∠CFE，而由∠ABC=∠ACB，因∠ABC+∠CBF+∠BDE=∠BCE+∠ACB，由此可得∠BCE>∠BDE，所以∠BCF>∠BFC，依据三角形的边角之间的不等关系可得：BF>BC，即DE>BC．评注：本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的性质将欲比较的线段放在同一三角形中

8、，再通过三角形三边之间的不等关系简洁的使问题得证．七、求面积例7．如图6，□ABCD中，点E在AC上，AE=2EC，点F在AB上，BF=2AF.如果△BEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积.图6DFECBA分析：根据等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比，求出△AEF的面积和△BEF的面积，再根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面