利用平行四边形的性质解题

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1、利用平行四边形的性质解题　　平行四边形是特殊的四边形，它具有许多重要的性质，比如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，对角线的交点是对称中心。灵活应用这些性质可以解决许多问题，下面举例说明。　　一、求角度　　例1（2013年江西省中考题）如图1，?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______。　　分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF，则可求∠DAE

2、。　　解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且有公共边CD，　　所以AD=DE,∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。　　所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。　　点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。　　二、求线段长　　例2（2013年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点

3、E，且AE=3，则AB的长为（）　　A．4B．3　　C．■D．26　　分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，从而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。　　解因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。　　因为CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。　　所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。　　因为AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。　　所以AE=DE=3，所以DC

4、=AB=DE=3。　　故答案选B。　　点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE=AE=DC。　　三、求周长　　例3（2013年山东省烟台市中考题）如图3，?荀ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______。　　分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD，又因为点E是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，则有OE=■BC，所以易求得△DOE的周长。　　

5、解因为?荀ABCD的周长为36，　　所以2（BC+CD）=36，则BC+CD=18。　　因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD=12，　　所以OD=OB=■BD=6。6　　又因为点E是CD的中点，所以OE是△BCD的中位线，　　所以OE=■BC。　　所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15。　　故答案填15。　　点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时，同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分

6、”“平行四边形的对边相等”的性质。　　四、证明角相等　　例4（2013年浙江省衢州市中考题）如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证:∠BED=∠BFD。　　分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。　　证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。　　又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠3=■∠ABC，　　∠2=■∠ADC。　　又∠ABC=∠ADC,所

7、以∠3=∠2。所以∠1=∠2。所以BE∥DF。　　又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。　　所以∠BED=∠BFD。　　点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。6　　五、证明线段相等　　例5（2013年四川省泸州市中考题）如图5，已知?荀ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证：AB=BE。　　分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以证明△CDF≌

8、△BEF，从而推出BE=DC，即可证明。　　证明因为F是BC边的中点，所以BF=CF。　　因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AB∥CD。　　所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。　　所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。　　因为AB=DC，所以AB=BE。　　点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，解题的关键是推出△CDF≌△BEF。　　六、求最值　　例6（2013年四川省达州市中考题）如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，B