《平面的法向量》进阶练习（二）

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1、《平面的法向量》进阶练习一、选择题1.已知直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），则（　　）A.l∥α                                                  B.l⊂αC.l⊥α                                                  D.直线l与平面α相交但不垂直2.已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（　　）A.（1，1，1）      B.（1

2、，0，1）      C.（0，1，1）      D.（0，0，1）3.已知平面α的法向量为=（2，-2，4），=（-3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（　　）A.AB⊥α                                                B.AB⊂αC.AB与α相交不垂直                            D.AB∥α二、填空题4.若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于．三、解答题5.如图，在多面体中，四边形是正方形，AC=AB=1，.（I）求

3、证：；（II）求二面角的余弦值的大小.参考答案1.C2.D3.D4.5.（Ⅰ）证明：取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，∵B1C1∥BC，B1C1=BC，∴B1C1∥EC，且B1C1=EC，∴四边形CEB1C1是平行四边形，∴B1E∥C1C，B1E=C1C，∵C1C⊂面A1C1C，B1E不包含于平面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C，又ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A=C1E，∴AEC1A1是平行四边形，∴AE∥A1C1∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，∴AE∥面A1C1C，∵AE∩B1E=E，∴面B1AE∥面A

4、1C1C，∵AB1⊂面B1AE，∴AB1∥面A1C1C．（Ⅱ）∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB，∴∴A1B＝，∵A1C=A1B，∴A1C＝，由勾股定理可得：∠A1AC=90°，∴A1A⊥AC，∵AB∩AC=A，∴A1A⊥面ABC，∵A1C=A1B=BC，∴BC＝，由勾股定理，得∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，C（1，0，0），A1（0，0，1），，B（0，1，0），设面A1C1C的法向量为，由，令z=1，则，设面A1C1B的法向量为，则，则，令k=1，则，所以，设二面

5、角C-A1C1-B的平面角为α，，所以cosα＝cos(π−θ)＝.1.  解：∵直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），又∵=2，∴，∴l⊥α故选：C由题意易得，由法向量的定义可得答案．本题考查平面的法向量和空间向量的平行关系，属基础题．2.  解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．则，解得x=y=0．∴只有D中的向量（0，0，1）满足条件．故选：D．设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．可得，解出即可．本题考查了平面的法向量、线面垂直的性质、数量积运算性质，考查了技能数列，属于基

6、础题．3.  解：∵=-6-2+8=0，点A不在α内，，∴AB∥α．故选：D．由于=-6-2+8=0，点A不在α内，，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.  5.  本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（Ⅰ）取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，由已知得四边形CEB1C1是平行四边形，AEC1A1是平行四边形，由此能证明AB1∥面A1C1C．（Ⅱ）由已知得A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB，A1A⊥AC，从而A1A⊥面

7、ABC，以A为原点，以AC为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角C-A1C1-B的余弦值的大小．