《单调性与单调区间的综合应用》进阶练习 (三)

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1、《单调性与单调区间的综合应用》进阶练习一、选择题1.f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（x2+1）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（-1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）A.（1，+∞）           B.（-1，0）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）           D.（-∞，-1）∪（0，1）2.关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（　　）A.x=2是f（x）的极小值点B.函数y=f（x）-x有且只有1个零点C.存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D.对任意两个正实数

2、x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞43.已知奇函数y=f（x）的导函数f′（x）＜0在R恒成立，且x，y满足不等式f（x2-2x）+f（y2-2y）≥0，则x2+y2的取值范围是（　　）A.   B.[0，2]   C.[1，2]   D.[0，8]二、填空题4.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则

3、t-s

4、的最大值为4；③f（x）

5、的最大值为M，最小值为m，则M+m=0；④若对∀x∈[-2，2]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的序号为______．5.有下列命题：①x=0是函数y=x3的极值点；②三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac＞0；③奇函数f（x）=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数．其中假命题的序号是______．参考答案【参考答案】1.D    2.C    3.D    4.①③5.①【解析】1.解：令F（x）=（x2+1）f

6、（x），则F′（x）=（x2+1）f′（x）+2xf（x），∵当x＞0时，（x2+1）f′（x）+2xf（x）＜0，∴当x＞0时，F′（x）＜0，∴F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+∞）上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=0，∴f（1）=0，∴当0＜x＜1时，F（x）=（x2+1）f（x）＞0，∴f（x）＞0；①又F（-x）=）=（x2+1）f（-x）=-（x2+1）f（x）=-F（x），∴F（x）=（x2+1）f（x）为奇函数，又x＞0时，F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+∞）

7、上单调递减，∴x＜0时，F（x）=（x2+1）f（x）在（-∞，0）上单调递减，∵f（-1）=0，∴当x＜-1时，F（x）=（x2+1）f（x）＞0，从而f（x）＞0；②由①②得：0＜x＜1或x＜-1时f（x）＞0．∴不等式f（x）＞0的解集是（0，1）∪（-∞，-1）．故选D．根据积函数的求导法则可知F（x）=（x2+1）f（x），依题意可知可判断函数F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+∞）内单调递减；再由f（-1）=f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x

8、）在（-∞，0）内的正负性．则f（x）＞0的解集即可求得本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，考查运算能力，属难题．2.解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）-x=+lnx-x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）-x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令

9、h（x）=-4+x-xlnx，则h′（x）=-lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．对选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解

10、决问题的能力，属于中档题．3.解：∵函数y=f（x）为奇函数，∴不等式f（x2-2x）+f（y2-2y）≥0，等价为f（x2-2x）≥f（2y-y2），由函数y=f（x）的导函数f'（x）＜0在R恒成立，∴函数y=f（x）为减函数，∴x2-2x≤2y-y2即（x-1）2+（y-1）2≤2，则不等式对应的点的轨迹为圆心为（1，1），半径r=的圆及其内部．故的几何意义为区域内的点到原点的距