函数的单调性与单调区间

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1、知识点——函数的单调性与单调区间函数的单调性与单调区间【单调区间定义】若函数f（x）在定义域某区间D上是单调增函数，则我们就称区间D是f（x）的一个单调增区间，同理，若函数f（x）在定义域某区间D上是单调减函数，则我们就称区间D是f（x）的一个单调减区间。函数的单调性与单调区间【要点诠释】函数的单调区间是定义域的子集，确定函数单调区间时，应首先确定其定义域，定义域中的x1,x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代.f(x)在区间D1、D2上是增函数，但f(x)不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样f(x)在区间D1、D2上是减函数，但f(

2、x)在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如：在区间(0,+∞)上为减函数，在(-∞,0)上也是减函数，但在(0,+∞)∪(-∞,0)上就不能说成是减函数.函数的单调性与单调区间【典型例题】求下列函数的增区间与减区间（1）y＝

3、x2＋2x－3

4、（2）（3）函数的单调性与单调区间【典型例题】解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝

5、x2＋2x－3

6、的图像，如图所示：由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，

7、1]函数的单调性与单调区间【典型例题】(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x，为减函数；当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2，为增函数.∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)函数的单调性与单调区间【典型例题】(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上递增，在x∈(－1，1]上递减。而在u≥0上是增函数。∴函数y的增区间是[

8、－3，－1]，减区间是(－1，1].函数的单调性与单调区间【证明单调性的方法】(1)取值：对任意x1，x2∈M，且x1﹤x2；(2)作差变形：f（x1）－f（x2）；(3)定号得出结论.函数的单调性与单调区间【典型例题】证明：(定义法)任取x1、x2∈(0，)，且x1＜x2，则，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴函数在区间(0，)上是减函数.证明函数在区间(0，)上是减函数.函数的单调性与单调区间【变式训练】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数。证取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2.∵f(x2)

9、－f(x1)＝(x2－x1)()这里有三种证法：证法(一)当x2x1﹤0时，当x2x1≥0时，又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．函数的单调性与单调区间【变式训练】证法(二)∵这里与x2不会同时为0，否则且x2＝0则x1＝0这与x1＜x2矛盾，∴证法(三)易知关于x1的一元二次不等式由于所对应的二次函数恒在x轴的上方，故不等式恒成立。综上＜0成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数。