不等式的性质与基本不等式

《不等式的性质与基本不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四讲不等式的性质/基本不等式课前练习：已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．解：一、知识要点（一）不等式的性质1、实数比较大小的方法（作差比较法）：原理：；；步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断与零大小关系。注：根据两个实数之差的符号来判断这两个实数的大小关系是比较两个实数大小的基本方法。2、不等式的基本性质：（1）如果，，那么（传递性）。（2）如果，那么（加法单调性）。（3）如果，，那么；如果，，那么（乘法单调性）。(4)如果，，那么（同向相加性）。(

2、5)如果，，那么（同向相乘性）。(6)如果，那么（倒数改向性）(7)如果，那么（乘方性质）。(8)如果，那么（开方性质）。例1、已知，，，求证：。证：例2、比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．解：6例3、如果，求的取值范围。解：巩固与提高11、有三个不等式（1），（2），（3）。以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成正确命题有几个？2、若。解：3、设是两个实数，给出下列条件：；；；；。其中能推出“中至少有一个数大于1”的条件是.4、“”是“”成立的条件。5、已知为非零实数，且，则下列命题成立的是()A、B、C、D、6、若a

3、（b+）2均不能成立D、不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立（二）基本不等式1、基本不等式一：如果，那么，当且仅当时等号成立。变形1：如果，那么，当且仅当时等号成立。6变形2：如果，那么，当且仅当时等号成立。变形3：如果，那么，当且仅当时等号成立。变形4：如果，那么，当且仅当时等号成立。变形5：如果，那么，当且仅当时等号成立。2、基本不等式二：如果，那么，当且仅当时等号成立。变形1：如果，那么，当且仅当时等号成立。3、基本不等式的整理与

4、推广：（1）将上述变形综合，可以得到：当时，，即，当且仅当时等号成立；其中称为这两个正实数的几何平均数，称为这两个正实数的算术平均数，而称为这两个正实数的平方平均数，称为这两个正实数的调和平均数。（2）推广上述两组不等式，有：当时，，当且仅当时等号成立；其中称为这个正实数的几何平均数，称为这个正实数的算术平均数，而称为这个正实数平方平均数，称为这个正实数的调和平均数。4、柯西不等式：设，则有6证明：设，则恒成立，当时结论成立；当不全为0时，，结论也成立。5、基本不等式的应用：（1）证明不等式；（2）求最大值和最小值（一正，二定，三相

5、等）；（3）解决一些实际问题。例4、（1）若，则；（2）若，则；（3）若，且，则；（4）若,且，则。解：例5、（1）设，则当时，有最值；（2）设，则当时，有最值。（3）代数式的最大值是，；最小值是，。解：例6、（1）设且，求的最小值；（2）设且，求的最小值；（3）设且，求的最小值。解：例7、已知，且，求的最大值。解：6例8、已知，且恒成立，求的最大值。解：例9、设，则的最小值是（）BA、2B、4C、D、5解：巩固与提高21、当x>4时，的最小值____________________。2、设，且，则的最小值是．3、设，则的最小值为。

6、4、周长为的直角三角形面积的最大值是．5、已知，，则的最小值．6、设a＞0，b＞0，a2+=1，则a的最大值是____________.7、设x，y均为正实数，且，则的最小值为。8、在下面等号右侧两个分数的分母括号内，各填上一个自然数，并使这两个自然数的和最小，。9、若，则_______。（填“＞”“=”“＜”）10、已知x>y>0且xy=1，求的最小值为___________________________.11、“a＞b＞0”是“ab＜”的（）(A)充分而不必要条件　　　　　(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件　　　　　　(

7、D)既不允分也不必要条件12、“”是“对任意的正数，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件6C．充要条件D．既不充分也不必要条件13、如果正数满足，那么（）Ａ．，且等号成立时的取值唯一Ｂ．，且等号成立时的取值唯一Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一14、若，求的最大值。15、先阅读下面内容，根据要求解答问题。设。解析如下：由于条件和结论都是对称的，所以猜想当时取到最大值，此时，由此想到重要不等式：，同理，，两式相加得，时等号成立。阅读到此为止，以下根据要求解答问题。设仿上面问题的解法，求下列各式的最大值

8、：（1）；（2）。其中（1）要给出解答过程，（2）只要给出数值，不必书写过程。根据阅读及的解答，把上述结论推广到一般情况，并给出推导过程；。解：6