【教学设计】《简单的线性规划问题》（人教）

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1、《简单的线性规划问题》◆教学目标1、知识与技能（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。2、过程与方法本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性。3、情感态度与价值观渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结

2、合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。◆教学重难点◆【教学重点】线性规划的图解法。【教学难点】寻求线性规划问题的最优解。◆教学过程（一）新课导入某工厂用A，B两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?把问题1的有关数据列表表示如下:设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知

3、条件可得到哪些不等式呢？（二）新课讲授设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得:将上面不等式组表示成平面上的区域，区域内所有坐标为整数的点P(x，y)，安排生产任务x，y都是有意义的。问题：求利润2x+3y的最大值。若设利润为z，则z=2x+3y，这样上述问题转化为:当x，y在满足上述约束条件时，z的最大值为多少?把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋，在y轴上的截距为，当点P在可允许的取值范围变化时，求截距的最值，即可得z的最值。如图：由图可以看出，当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4，2)时，截距

4、的值最大，此时2x＋3y＝14。在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件。Z=2x+3y称为目标函数，(因这里目标函数为关于x，y的一次式，又称为线性目标函数）。一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解。由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其

5、中能使②式取最大值的可行解称为最优解。（三）例题探究例1　设变量x，y满足约束条件求目标函数z＝2x＋5y的最小值。[解析]　由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，平移该直线，易知经过点A时z最小。又知点A的坐标为(3，0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6。注：图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤：①确定线性约束条件，线性目标函数；②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点

6、的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。跟踪训练1　已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围。解：作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图)即为可行域。设z＝2x－3y，变形得y＝x－z，则得到斜率为，且随z变化的一组平行直线。－z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小。解方程组得A的坐标为(2，3)，∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5。当直线z＝2x－3y经过可行域上的

7、点B时，截距最小，即z最大。解方程组得B的坐标为(2，－1)。∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7。∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5，7]。例2　已知x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值。解：约束条件所表示的平面区域如图：由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z。当a＝0时，最优解只有一个，过A(1，1)时取得最大值；当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－

8、1。综上，a＝1或a＝－1。跟踪训练2　给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于(　　)A。B。C。4D。答案：B解析：由题意知，当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个，则－a＝＝－，即a