《函数单调性》1

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1、1.3.1函数的单调性（一）问题情境：近六届世界杯进球数如下表：画成折线图：年份进球数199011519941371998171200216120061472010145问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：问题2:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）　　　问题3:函数f(x)=x2在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。xy0xy0（2）f(x)=x2二.建构定义在区间D内在区间D内

2、图象图象特征数量特征从左到右，图象上升y随x的增大而增大从左到右，图象下降y随x的增大而减小o一般地，设函数的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，。当时，都有那么就说在这个区间上是增函数。这一区间叫做函数的增区间函数f(x)在给定区间上为增函数。如何用x与f(x)来描述上升的图像？o一般地，设函数的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，。当时，都有那么就说在这个区间上是减函数。这一区间叫做函数的减区间减函数概念注:三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通

3、常规定；相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数在(-∞,+∞)上是减函数在(-∞,+∞)上是增函数一次函数y=kx+b(k≠0)yox当k<0时,yox当k>0时,yox当a<0时,yox当a>0时,题1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象,根据图象说出的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.-212345-23-3-4-5-1-112O-212345-23-3-

4、4-5-1-112在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数在区间[-2,1),[3,5)上是增函数.解:函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],O问题4：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？问题5：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？yxo问题6：2.函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调性如何？1.函数f(x)=在区间(－∞,0)上单调性如何？3.函数f(x)=在区间(－∞,+∞)上是减函数吗？4.函数f(x)=在区间(－∞,0)∪(0,+∞)上是减函数吗？反例：取x1=-1,

5、x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1可见x1f(x2)不一定成立。..-11所以f(x)=在区间(－∞,0)∪(0,+∞)上没有单调性。单调递减单调递减概念理解不是问题7：函数f(x)=在x=1处是减函数吗？yxo注意：函数的单调性是对某个区间而言的，函数在单独的点上没有单调性。1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

6、3.函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数(即不能将单调区间并在一起)．4.当端点满足单调性定义时，可开可闭。概念深解如图,已知的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一区间上,函数是增函数还是减函数.-11o要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地说，它还需要进行证明。例2（1）证明函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1

7、f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=3(x2-x1)由x1

8、函数在区间[0，+∞）上为增函数。判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1