第8讲函数与方程

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1、第8讲函数与方程一、选择题1．“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的(　　)A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0时，有f(－1)f(2)<0，即2a2－3a－9>0，解得a>3或a<－.答案A2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　

2、　)解析能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)·f(b)＜0.A、B、D中函数不符合．答案C3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)．A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析　由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0

3、当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案　B5．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内(　　)．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析　令f(x)＝0，得＝cosx，在同一坐标系内画出两个函数y＝与y＝cosx的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程＝cosx只有一个解．∴函数f(x)只有一个零点．答案　B6．已知函数f(

4、x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是(　　)．A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点解析　f(x)＝0⇔ex＝a＋在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．答案　B二、填空题7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．解析∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5

5、)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案(0,0.5)　f(0.25)8．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析　本题即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝.即或和或得x＝－3或x＝和x＝－或x＝.答案　9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析　由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(

6、x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．答案　(－∞，2ln2－2]10．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”的个数是________．解

7、析　设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.答案　2三、解答题11．设函数f(x)＝(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0