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1、第1讲函数与方程思想1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是川运动和变化的观点，分析和研究数学小的数量关系，是对两数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图彖变换等.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变屋间的等屋关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的木质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组
2、的观点观察处理问题.方程思想是动屮求静，研究运动中的等量关系.2.和函数与方程思想密切关联的知识点⑴函数与不等式的相互转化.对函数尹=心)，当尸0时，就化为不等式.心)>0,借助函数的图象和性质可解决冇关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为氷知量的方程来解.(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要
3、通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的冇关理论.(5)立体几何屮有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列⑺”｝是各项均为正数的等差数列.(1)若ai=2,且0，如他+1成等比数列,求数列｛如｝的通项公式如;(2)在⑴的条件下，数列｛切的前项和为S”，设方尸宀+亠+...+£,若对任意的77EN*,不等6+16+2^2/7式加三力恒成立，求实数*的最小值.变式训练已知数列｛如是等差数列，4=1,^+^+...+^
4、0=144.(1)求数列a｝的通项如;(2)设数列｛仏｝的通项九,记S”是数列©｝的前乃项和，若沦3时,有SQw恒成立,求加Q“a”+1的最大值.类型二函数与方程思想在方程问题中的应用例2如果方程co^x—smx+a=0在(0,刽上冇解，求a的取值范围.变式训练当。为何值时，方程lg(3-x)+lg(x-l)=lg(^-x)有两解？一解？无解?类型三函数与方程思想在不等式中的应用例3设y(x)=lnx+y[x—1,39(x—1)证明：⑴当x>l时，y(x)<2(x—1)；(2)当1W3时，Z(x)vx+5•变式训
5、练,/(x)=aY3-3x+l对于xe[-l,l]总有沧)M0成立，贝ljo=类型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4己知椭圆的屮心为坐标原点O,焦点在X轴上，离心率为芈，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为爭.(1)求椭圆的方程;(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线/交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M伽,0),使得以MP、他为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求岀加的取值范围，若不存在，请说明理山.变式训练已知椭圆C：务+$=1啊＞0)的离心率为*,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆
6、与直线x~y+y[6=0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线/与椭圆C相交于力、B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求刃•尬的取值范制(3)若B点关于兀轴的对称点是E,证明：直线/E与兀轴相交于定点.练习1.等比数列｛/｝的前n项和为S”，已知S12S2.3S3成等差数列，则数列｛外｝的公比为2.若。>1,则双曲线卡一注疗=1的离心率£的取值范围是1.已知6/e[-l,l],不等式H+(g—4)x+4—2g>0恒成立，则x的取值范围为2.若2"+5）<2刁+5匕则有（）A.x+y>0B.x+y<0C・x-y
7、<0D・x~y>06.已知函数J｛x)=cosx(x(0,2k))W两个不同的零点Q,X2，且方程.心)=加有两个不同的实根也，X4.若把这四个数按从小到人的排列构成等差数列，则实数刃的值为.7.若方程siiA+2sinx+o=0冇解，则实数a的取值范围是6.已知数列仇｝是递增数列，且対于任意的圧加恒成立，则实数久的取值范围是.7.设.心)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当兀<0时，/(兀)g(x)+/(x)g©)>0,且g(—3)=0,则不等式,/(x)g(x)<0的解集是・8.己知公差不为0的等差
8、数列⑺”｝的前/?项和为S”，S7=70,H.Gi，02，06成等比数列.(1)求数列｛an｝的通项公式;(2)设b”=邕严，数列｛%｝的最小项是笫几项，并求出该项的值.9.如图，曲线M：y=x与曲线N：(x-4)2+2/=/H2(w>0)ifI交于4,B,C,D四个点(1)求加的取值范围；y(2)求四边形/BCD的而积的最人值及此时对角线/C与BD的交点坐标.6.已知函
