第18讲函数与方程（学生）

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1、第18讲函数与方程一、要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点：概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲

2、线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是

3、使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。若－

4、

5、3)D．(3，+∞)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。题型2：零点存在性定理例2．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；题型3：二分法的概念例3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点；D．“二分法”求方

6、程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；例4．方程在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是（）A．0.05B．0.005C．0.0005D．0.00005题型4：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例5．设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明。例6．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.题型5：一元二次函数与一元二次不等式例7．设，若，，,试证明：对于任意，有。例8．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有题型6：二次函数的图像与性质例9．在下列图象中，

7、二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）例10．设a∈R，函数f(x)=x2+

8、x－a

9、+1,x∈R.（1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值.题型7：二次函数的综合问题例11．已知函数和的图象关于原点对称，且。(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式；(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围。例12．已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。