湖北省洪湖市曹市镇庆丰中学邓志超（教学论文）

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1、《三角形的边与角》一章中，关系角之间的计算规律微探湖北省洪湖市曹市镇庆丰中学　　邓志超在教学《三角形的边与角》一章时，有几类与三角形的边与角有关的题型，这些题目都有比较明显规律可循，特别是在学生做选择填空题时，更可以大大提高解答的速度，在解答题中，也可为学生指明分析的方向，并可以作为判断解题的结果正确与否的依据。对于三角形的角之间的关系，最根本的依据是三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180º；三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；与之有关的即特殊的三角形——直角三角形中两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形。以此为基础的相关题目中，能找出规律的最典型

2、的题目如下：一、三角形中，过同一顶点的高与角平分线夹角的计算。题目一：（2010年春相城区期末）如图1-1，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形∠BAC的角平分线.（1）若∠B=40°，∠C=70°，则∠DAE为多少度？（2）若∠B=α，∠C=β，且β>α，请用α和β表示出∠DAE.题目二：（2014年秋中江县期中）如图1-2，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形∠BAC的角平分线.（1）若∠B=40°，∠ACB=110°，则∠DAE为多少度？（2）若∠B=α，∠ACB=β，且β>α，请用α和β表示出∠DAE.图1-2图1-1在题目一中，第（1）题可利用三角形的内角和等于18

3、0º，在已知∠B=40°，∠C=70°，可先求∠BAC=70°，再利用AE是∠BAC的角平分线，可求∠EAC=35°，在Rt△ADC中，利用直角三角形中两个锐角互余且∠C=70°，可求出∠DAC＝20°，从而可求∠DAE=15°．本题利用了三角形内角和定理、角平分线定理．同理，第（2）题可以按同样的方法得出：∠DAE＝（β－α）.题目二也可利用同样的方法得出：∠DAE＝（β－α）.由解答过程可知总体的规律：在三角形中，过同一顶点的角平分线与高的夹角，等于过另两个顶点的内角差的一半。二、三角形外角知识运用中的角的计算。（1）翻折后所构成的夹角和问题。（2012北辰区一模）如图2，△ABC中，∠

4、A=50°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，求图中∠1+∠2的度数.图2因为翻折前后，图形的形状和大小均未改变，所以∠A＝∠D，先连接AD得到两个三角形：△AED和△AFD，可利用三角形内角和定理的推论得出结论：∠1+∠2＝2∠A＝100°.不难看出，如果将∠A=50°换成∠A=α，则∠1+∠2＝2α，即三角形的一角沿某条直线翻折后，原来的两边分成的两条线段构成的夹角之和，等于这个角翻折前的两倍.（2）等腰三角形中等角的运用。（2006江阴市自主招生）如图3-1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AE＝AD，求∠CDE的度数.图3-1图3-2在小学阶段

5、，学生已明白等腰三角形的两个底角相等，因而在本题的计算过程中，已能加以运用，所以，如图4－2中，学生已能找到相关的等式：∠B＝∠C，∠2＝∠3，再利用三角形内角和定理的推论可得出：∠3＝∠1+∠C（①）；∠1+∠2＝∠B+∠4（②）.由这几式之间的关系可得∠1+∠1+∠C＝∠C+∠4，整理可得∠4＝2∠1，即2∠1＝20°，故∠1＝10°，正好是∠BAD度数的一半。不过，若题目中条件不变，若点D在BC的延长线或反向延长线上，如图3-3和图3-4，结论是否仍然成立呢？经过同样方法的推理，可以发现，图3-3中，∠BAD与∠CDE同样满足这一条件，即∠BAD＝2∠CDE。不过，当点D在BC的延长线

6、上时，解答如下：如图3-5，在△ABC中，∠5＝180°－2∠3①在△CDE中，∠4＝∠1+∠E＝∠1+（∠1+∠2）＝2∠1+∠2②在△ACD中，∠6＝180°－∠2－∠4＝180°－∠2－（2∠1+∠2）＝180°－2∠1－2∠2③在△ECD中，∠DCE＝180°－∠1－（∠1+∠2）＝180°－2∠1－∠2＝∠3∴∠5＝180°－2（180°－2∠1－∠2）＝4∠1+2∠2－180°④由③+④可得∠5+∠6＝2∠1，即∠BAD＝2∠CDE.图3-5图3-4图3-3因而，不管∠BAD的大小如何变化，学生都能一口气回答出∠CDE的度数，即在等腰△ABC中，AB＝AC，若点D为边BC所在直线

7、上的一点，点E为射线AC上一点，且当AD＝AE时，∠BAD＝2∠CDE.三、“8字型”的两个三角形之间内角和的关系计算及运用。如图4-1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形图4-1的图形称之为“8字形”．图4-2图4-1利用三角形内角和定理不难得出，∠A+∠D＝∠C+∠B，虽然看起来这个结论很简单，但在后续的学习中，“8字型”的图形会经常得到运用，特别是在比较复杂的几何图形中，包括与平面直角坐