江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学）

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1、江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）数学一、填空题　(共12小题，共70分)1．已知全集，函数的定义域为集合，则.2．设复数满足，其中为虚数单位，则．3.用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为.4．如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的一个条件是________.5．若非零向量、，满足，且，则与的夹角大小为．6．已知椭圆的焦距为，则实数．7．从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为,则函数的图象经过第三象限的概率是8．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为．现从一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析

2、，得到频率的分布表如下：X12345f0.20.450.150.1则在所抽取的200件日用品中，等级系数的件数为________．9．已知、，若，，则．10．点是函数图像上的任意一点，点，则两点之间距离的最小值是______________.11．不等式的在内有实数解，则实数的取值范围是第7页12．已知曲线：与函数及函数的图像分别交于点，则的值为．13．设双曲线的右焦点为，点、、…、是其右上方一段（，）上的点，线段的长度为，（）．若数列成等差数列且公差，则最大取值为．14．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数

3、的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是．二、解答题(共6小题，共90分)15．（本小题满分14分）已知函数，．（1）设是函数的一个零点，求的值；（2）求函数的单调递增区间．16．（本小题满分14分）如图，已知中，，斜边上的高，以为折痕，将折起，使为直角。（1）求证：平面平面；（2）求证：（3）求点到平面的距离。第7页17．（本小题满分14分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3－x+8(0＜x≤120).已知甲、乙两地相距

4、100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？18．（本小题满分16分）已知曲线上动点到定点与定直线的距离之比为常数．（1）求曲线的轨迹方程；（2）以曲线的左顶点为圆心作圆：，设圆与曲线交于点与点，求的最小值，并求此时圆的方程.19．（本小题满分16分）对，定义函数，．（1）求证：图像的右端点与图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上．（2）若直线与函数，（，）的图像有且仅有一个公共点，试将表示成的函数．（3）对，，在区间上定义函数，使得当（，且，，…，）时，．试研究

5、关于的方程（，）的实数解的个数（这里的是（2）中的），并证明你的结论．20．（本小题满分16分）如果无穷数列满足下列条件：①；②存在实数，使．其中，那么我们称数列为数列．第7页（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，证明：数列是数列；（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．江苏省青阳高级中学2013届高三数学月测试卷（一）1、　　2、2－2i　3、4．5．；6．2，3，6；7．　8．件9．10．；　11．12．9；13．14提示：数列递增，当最小，最大，且公差充分小时，数列项数较大。所以取，，算得，又，所以，又，故最大取值为1

6、4．14．①、③、④15．（1）由题设知．因为是函数的一个零点，所以，即（）．所以（2）．当，即（）时，函数是增函数，第7页故函数的单调递增区间是（）．16．（1）证明：又为等腰（3）平面ADE，过D点作则平面ABCBACDBCADMED点到平面ABC的距离为。17．（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗油(×403－×40+8)×2.5=17.5（升）.所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(x3－x+8)·=x2+－(0＜

7、x≤120)，h(x)=－=(0＜x≤120)，令h(x)=0得x=80，当x∈(0,80)时，h(x)＜0,h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.18．（1）过点作直线的垂线，垂足为.，；所以椭圆的标准方程为。第7页（2）点与点关于轴对称，设