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1、主讲教师：陈殿友总课时：124第十一讲极限的运算法则高等数学第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则机动目录上页下页返回结束§5极限运算法则本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四则运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限.以后我们将逐步介绍求极限的的其他方法.在下面的讨论中，记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面的定理对x→x0及x→∞都是成立的.在论证时,我们只证明了x→x0的情形,只要把δ改成X，把0＜
2、x-x0
3、＜δ改成
4、x
5、＞X，就可得x→∞情形的证明.时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是
6、无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，解答见课件第三讲例4机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关
7、系定理,知定理结论成立.定理3.若机动目录上页下页返回结束推论:若且则(P45定理5)利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令机动目录上页下页返回结束定理4.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例2.设n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束为无穷小(详见P44)定理5.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束定理6.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论
8、.机动目录上页下页返回结束x=3时分母为0!例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若机动目录上页下页返回结束例5.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例6.求解:时,分子分子分母同除以则分母原式机动目录上页下页返回结束例7求解先用x3除分母和分子，然后求极限，得机动目录上页下页返回结束例8求解应用例7的结果并根据定理，即得机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如例6)(如例7)(如例8)机动目录上页下页返回结束主讲教师：陈殿友总课时：124第十二讲极限的运算法则高等数学三、复合函数的极限运算法则定理7.设且
9、x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束例9.求解:令已知(见P46例3)∴原式=(见P33例5)机动目录上页下页返回结束例10.求解:方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5
10、Th7机动目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束3.求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束4.试确定常数a使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此作业P161.2第六节目录上页下页返回结束备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故机动目录上页下页返回结束
