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《吉林大学_陈殿友_术洪亮--线性代数_总复习习题课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数综合练习题（一）一、填空题：1、四阶方阵A的特征值为1、2、3、4，则a+a+a+a=，11223344A=；2、设⎛7300⎞⎜⎟3100−1A=⎜⎟则A=⎜001−2⎟；⎜⎜⎟⎟⎝0011⎠3、设二次型222f=x+2y+3z−2xy−2xz+2yz,则其秩为；4、向量组TTTα1=(261,)α2=(3λ1,)α3=(001)线性相关，则λ=；5、已知A是满秩矩阵，且⎛123⎞AB=⎜246,⎟则B的秩为。⎜⎟⎜⎟⎝369⎠二、选择题：*1、设A为n阶可逆矩阵，A是*它的伴随矩阵，则A=；n−1n−1()a
2、A;()bA;()cAdA;()2、设A、B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有；()aA=0或B=0;()bA+B=0;()cA=0或B=0;()dA+B=0.−13、设A是三阶可逆矩阵，则(2)A等于；181()a;()b;()c;(d)8A.8AA2A4、已知β、β是非齐次线性方12α程组AX=b的两个不同的解，1与α2是对应的齐次线性方程组AX=b的基础解系，k与k为任意12常数，则方程组AX=b的通解为；()akα+k(α+α)+1(β−β);11212212()bkα+k(α−α)+1(β+β);112122
3、12()ckα+k(β+β)+1(β−β);11212212()dkα+k(β−β)+1(β+β);112122125、已知三阶实对称矩阵A的特征值为1、2、3，且对应于1、2T的特征向量分别为(1,1,0)和T(2,2,1)−，则对应于3的特征向量为.TTTT()(1,1,0);()(0,1,2);()(1,1,4);()(1,1,4)a−b−cd−三、解答下列各题1、已知AX=B-2X，其中⎛023⎞⎛475⎞⎜⎟⎜⎟A=1−30,B=011,求X.⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−12−1⎠⎝110⎠2、求矩阵⎛3102⎞⎜⎟A
4、=1−32−1⎜⎟⎜⎝13−44⎟⎠的秩及一个最大无关列向量组.3、设矩阵A与B相似，其中⎛−200⎞⎛−100⎞⎜⎟⎜⎟A=⎜2x2,⎟B=020,⎜⎟⎜⎝311⎟⎠⎜00y⎟⎝⎠求x,y的值.4、设PB=AP，其中⎛200⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟P=012,B=020,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝001⎠⎝002⎠5求A.四、问当λ取何值时，下面的方程组⎧x+x+2x+4x=31234⎪⎨x−2x+2x−11x=λ1234⎪⎩3x+x+6x+2x=31234有解？有解时求其通解.五、设二次型222f=2x+5x+5x+4xx−4x
5、x−8xx1231213231、试用矩阵形式表示；2、用正交变换将其化为标准型，并指出所用的正交变换.六、设A=(a),且a=A(,ij=1,2,3),ij33×ijijTa=−1,A=1,b=(0,0,1),33求AX=b的解.七、设向量组αα,,L,α12m线性无关，试讨论向量组β=α+αβ,=α+α,L,112223β=α+α,β=α+αm−1m−1mmm1的线性相关性.一、1、解：a+a+a+a11223344=λ+λ+λ+λ1234=1+2+3+4=10A=λλλλ=×××=12342412342、将A分块−1
6、⎛B0⎞⎛73⎞⎛1−2⎞⎛B0⎞−1A=⎜⎟,B=⎜⎟,C=⎜⎟而A=⎜−1⎟⎝0C⎠⎝31⎠⎝11⎠⎝0C⎠⎛−1300⎞22⎛−13⎞⎛12⎞⎜37⎟−11*22−133∴A−1=⎜2−200⎟QB=B=⎜⎝3−7⎟⎠,C=⎜⎝−11⎟⎠⎜001323⎟B2233⎜⎜⎟⎟⎝00−11⎠333、解：二次型矩阵为⎛1−1−1⎞⎛1−1−1⎞r2+r1⎜⎟⎜⎟A=−⎜121⎟~⎜010⎟⎜⎟r3+r1⎜002⎟⎝−113⎠⎝⎠∴RA()=3所以二次型的秩为3；4、解：因为三个3维向量线性相关230∴ααα=6λ0=0,解
7、得λ=9.1231115、解：因为A为满秩方阵，所以A可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当于对B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，⎛123⎞⎛123⎞r2−2r1⎜⎟⎜⎟QAB=⎜246⎟~⎜000⎟⎜369⎟r3−3r1⎜000⎟⎝⎠⎝⎠所以RB（）（=RAB）=1二、1、解：**QAA=AA=AE，*n∴AA=AE=A*n−1QA可逆，∴A≠0，∴A=A故选(a).2、解：QAB=∴0AB=∴0A=0或B=0故选(c).3、解：−1−11−11Q(2)A=1A=A=288A故
8、选(a).4、解：非齐次线性方程组的通解为其对应的齐次线性方程组的通解和它的一个特解的和。已知ββ,为非齐次线性方程组的解，121∴（β+β）为非齐次方程组的解,122而αα,为齐次方程组的基础解系，12∴αα,线性无关，可证ααα,+线性无关且为齐次线性方程组的解12112∴ααα,+可做为齐次线性方程组的基础解系
