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《吉林大学 陈殿友--线性代数(第4章).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、第四章 向量组的线性相关性§1n维向量一、n维向量的概念定义1n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第i个分量。列向量＝α行向量零向量负向量二、n维向量的运算定义2设n维向量1)2）3)其中k是数量。注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。三、n维向量的运算律设α，β，γ为n维向量，k、l为实数，0为零向量。1)α+β=β+α2)α+β+γ=α+(β+γ)3)α+0=α4)α+(–α)=05)1·α=α6)k(lα)=(kl)α7)k(α+β)=kα+kβ8)(k+l)α=kα+lα四、n维向量的实际意
2、义我们称n维向量的全体所组成的集合为n维向量空间。n维向量有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的状态，需要6个参数（够成6维向量）。表示飞机重心在空间的位置需3个参数，还有3个参数是:1)机身的水平转角θ（0≤θ<2π）；2)机身的仰角φ（–）；3)机翼（以机身为轴）的转角Ψ（－π<Ψ≤π）。例1计算设α＝,β=求1）2）3α－β。解α+2β;3α－β＝α+2β＝§2向量组的线性相关性一、向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量它们组成的向量组α1,α2,…,αn称为矩阵A的列向量组。m×n矩阵A又
3、有m个n维行向量αiT=(ai1,ai2,…,ain),(i=1,2,…m)它们组成的行向量组α1T,α2T,…,αmT称为矩阵A的行向量组。反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。例如：m个n维列向量所组成的向量组α1,α2,…,αm构成一个n×m矩阵A=(α1,α2,…,αm);m个n维行向量所组成向量组β1T,β2T,…,βmT构成一个m×n矩阵B=。我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形式Ax=b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方程组也可以写成向量的形式x1α1+x2α2+…+xnαn=b,由此可见，线性方程组与其增广矩阵B＝（A,b
4、）的列向量组α1，α2，…，αm,b之间也有一一对应的关系。二、线性组合定义3给定向量组A:α1,α2,…,αm,对于任何一组实数k1,k2,…,km,向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A的一个线性组合,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数。线性表示给定向量组A:α1,α2,…,αm和向量b,如果存在一组数λ1,λ2,…,λm,使b=λ1α1+λ2α2+…+λmαm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=b有解。由上章的定理3，即可得到定理1
5、向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)的秩等于矩阵B=(α1,α2,…,αm,b)的秩。三、等价向量组定义4设有两个向量组A:α1,α2,…,αm及B:b1,b2,…,bs,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A=(α1,α2,…,αm)和B=(b1,b2,…,bs),B组能由A组线性表示，即对B组的每个向量bj(j=1,2,…,s)存在数k1j,k2j,…,kmj,使bj=k1jα1+k2jα2
6、+…+kmjαm=(α1,α2,…,αm)从而(b1,b2,…,bs)=(α1,α2,…,αm)这里，矩阵Km×s=(kij)称为这一线性表示的系数矩阵。由此可知，若Cm×n=Am×sBs×n,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩(c1,c2,…,cn)=(α1,α2,…,αs)同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵：综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即B的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆，则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而A
7、的行向量组也能由B的行向量组线性表示。于是A的行向量组与B的行向量组等价。同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A的列向量组与B的列向量组等价。等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组。四、向量组的线性相关性定义5给定向量组A:α1,α2,…,αm,如果存在不全为零的数k1，k2，...，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。1）一个向量α线性相关的充分必要条件是α＝0。2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。4）一个向量α是线性无关的充分必要条
8、件是α≠0。5）两个向量
