型曲面积分(北工大

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1、一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式第二节曲面积分第二型曲面积分观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面通常光滑曲面都有两侧.(假设曲面是光滑的)有两侧的曲面.规定(1)双侧曲面２.曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧.(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C粘在一起形成的环这在双侧曲面上是不能实现的.它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以爬到任何一点去.设　　　　　所表示的曲面S是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧（上侧）为正侧时，则另一

2、侧（下侧）为负侧．的外侧为正侧，内侧为负侧．3.正负侧的取法当S为封闭曲面时，通常规定曲面设S是有向曲面.假定上各点处的法向量与z轴正向的夹角在有向曲面取一小块４.有向曲面在坐标面上的投影取上侧为正侧1.实例流向曲面一侧的流量.二、第二型曲面积分(2)设稳定流动的流体的速度场由给出,都在S上连续,求在单位时间内流向S指定侧流体的体积分割把曲面S分成小块（表示第小块曲面的面积),S是速度场中的光滑双侧曲面,函数(流量)。取近似法向量为在上任取一点,则该点流速为求和该点处曲面S的单位法向量取极限设函数f(x,y,z)在双侧光滑或者逐片光滑的曲面块S上有定义，选定曲面S一侧为正，将曲

3、面S任意分成n个小曲面：将此分法表为T，用表示第k个小曲面的面积，在xy平面投影的小区域的面积是在第k个小曲面上任取一点，称为函数　　　　在曲面S关于xy的积分和。令2.定义设函数　　　　在光滑或者逐片光滑的曲面块S上有定义，若当时，函数在曲面S关于xy的积分和存在极限作和则称是f(x,y,z)dxdy在曲面S的第二型面积微元.其中dxdy是曲面微元在xy上投影的即曲面积分，表为如果S是闭曲面，则　　　　　　在S的第二型曲面积分记为类似地,设小曲面在yz平面与zx平面的投影小区域的面积分别是　　　与与第二型曲面积分为则在曲面的3.存在条件4.组合形式5.物理意义（求流量，磁通量

4、）6.性质定理2若有光滑曲面S:其中D是有界闭区域。函数在曲面S连续，则函数在S第二型曲面积分其中符号“”由曲面s的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定。７.第二型曲面积分的计算方法存在，且则若光滑曲面S有参数方程给出且在D上各点它们的函数行列式不同时为零，则解解原式==òòzdxdyS例３　计算曲面积分　　　　其中　是椭球面的　　　的部分，取椭球面的外侧为正侧．例４　计算第二型曲面积分其中S为取外侧为正向．的上半部分