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《可微性与偏导数(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1可微性与偏导数本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学的基本概念.然后给出二元函数对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或应用上都起着关键作用.一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件四、可微性的几何意义及应用一、可微性与全微分定义1设函数内有定义.对于内的点若f在点的全增量(1)其中A,B是仅与点有关的常数,的高阶无穷小量,则称f在点可微.并称(1)式中关于由(1),(2)可见,当充分小时,全微分这里(4)(2)为的全微分,记作可作为全增量的近似值,于是有:在使用上,有时也把(1)式写成如下形式
2、：(3)例1考察解f在点处的全增量为由于二、偏导数由一元函数微分学知道:若则增量现在来讨论:当二元函数在点可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此,在(4)式中令(5)容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似地,又可得到(6)它是关于y的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:则当极限存在时,称此极限为关于x的偏导数,记作定义2(7)类似地可定义关于y的偏导数:记作注1注2在上述定义中,存在对x(或y)显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在界
3、点处则往往无法考虑偏导数．若函数在区域D上每一点都存在对x(或对y)的偏导数,则得到在D上对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作偏导数的几何意义:的几何图象通常是三维空间中的曲面,设为此曲面上一点,其中曲面相交得一曲线：如图17-1所示，偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0处的切线与x轴正向所成倾角的正切，即图17-1可同样讨论偏导数的几何意义(请读者自行叙述)．由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,是先把别的自变量看作常数,变成一元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则,对多元
4、函数求偏导数仍然适用.例2于x和关于y的偏导数.解先求f在点(1,3)处关于x的偏导数.为此,令y=3,得到求它在x=1的导数,则得再求f在(1,3)处关于y的偏导数.为此令y=3,得求它在y=3处的导数,又得通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数:然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数的偏导数.解把依次看成幂函数和指数函数,分别求得例4求三元函数的偏导数.解把y和z看作常数,得把z,x看作常数,得把x,y看作常数,得三、可微性条件由可微定义易知:若.这表明:“连续是可微的一个必要条件．”此外,由(
5、5),(6)两式又可得到可微的另一必要条件:定理17.1若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,(1)式中的于是,函数的全微分(2)可惟一地表示为与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即则全微分又可写为若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，且f在D上的全微分为(8)定理17.1的应用:对于函数由于它们分别在都不可导，即故再看一个例子:在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出同理可得若f在原点可微,则不存在(第十六章
6、§2例3),因此函数f在原点不可微.以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而现在这个例子说明:偏导数即使存在,函数也不一定可微．这就是说,当所有偏导数都存在时,还需要添加适当的条件,才能保证函数可微．请看如下定理:定理17.2(可微的充分条件)若函数在点的某邻域内存在偏导数且它们在点连续,则可微.在第一个方括号里的是函数关于x的增量;在第二个括号里的是函数关于y的增量.第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则使得证第一步把全增量写作(9)第三步由于因此有第四步将(10),(11)代入(9)式,得到由可微定义的
7、等价式(4),便知函数f(11)(10)可微.定理17.２的应用容易验证例2中的函数满足定理17.2的条件,故在点(1,3)可微(且在上处处可微);上满足定理17.2的条件,亦在其定义域上可微；例4中的函数注意偏导数连续并不是可微的必要条件，例如它在原点(0,0)处可微,但却在该点不连续(见本节习题7，请自行验证).所以定理17.2是可微的充分性定理．若的偏导数都连续,则连续可微．在定理17.2证明过程中出现的(9)式,实际上是二元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下:(12)的某邻域内存在偏定理17.3设函数和四、可
8、微性的几何意义及应用一元函数可微，在几何上反映为曲线存在不平行于y轴的切线.对于二元函数而言,可微性则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需要先给出切平面的定义,这可以从切线定义中获得启发.在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在其上某一的切线PT定义为过点P的割线PQ当Q沿S趋近P时的极限位置(如果存
