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《高中全程复习方略配套课件：4.3平面向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节 平面向量的数量积三年27考高考指数:★★★★★1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难点；2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.1.两个向量的夹角(1)夹角的定义定义范围已知两个_______向量作∠AOB=θ叫作向量的夹角（如
2、图）.向量夹角θ的范围是______________,当θ=__________时，两向量共线；当θ=____时，两向量垂直，记作（规定零向量可与任一向量垂直）.0°或180°90°0°≤θ≤180°非零AOB(2)射影的定义设θ是a与b的夹角，则_________叫作b在a方向上的射影._________叫作a在b方向上的射影.射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当____________时，它是正值;当______________时，它是负值;当________时，它是0.
3、b
4、cosθ
5、a
6、cosθ0°≤θ<90°90°<θ≤180°θ=9
7、0°【即时应用】(1)思考：在△ABC中，向量与的夹角为∠ABC，是否正确？提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量与的夹角为π-∠ABC.(2)若
8、a
9、=5，向量a与b的夹角θ=60°，则向量a在b方向上的射影为______.【解析】a在b方向上的射影为
10、a
11、cosθ=5cos60°=答案：2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作_______.(2)数量积的几何意义a与b的数量积等于___________________________
12、_________的乘积，或____________________________________的乘积.
13、a
14、
15、b
16、cosθa·ba的长度
17、a
18、与b在a方向上射影
19、b
20、cosθb的长度
21、b
22、与a在b方向上射影
23、a
24、cosθ【即时应用】(1)已知正三角形ABC的边长为1，则(2)已知
25、a
26、=1，
27、b
28、=2，a·b=1，则向量a，b的夹角θ=______.【解析】又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案：3.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.结论几何表示坐标表示模数量积夹角x1x2+
29、y1y2=0【即时应用】(1)思考：若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角一定为钝角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①
30、a
31、+
32、b
33、=()②若θ为向量a、b的夹角，则cosθ=()③若a⊥(a+λb),则λ=1()④(a+b)·(4a+b)=18()【解析】故①真.②真.③∵a+λb=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，∴λ=1,③真.④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(
34、2,4)=(6,0)，∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.答案：①真 ②真 ③真 ④真4.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b=b·a;(2)数乘结合律：(λa)·b=_________=_________;(3)分配律：a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c【即时应用】(1)思考：(a·b)c与a(b·c)相等吗？提示：不一定相等，∵a·b,b·c均为实数，∴(a·b)c∥c，a(b·c)∥a,所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等.(2)若非零向量a，b满足
35、a
36、=
37、b
38、，(2a
39、+b)·b=0，则a与b的夹角为__________.【解析】设a,b的夹角为θ，∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，∴2
40、a
41、
42、b
43、cosθ+
44、b
45、2=0,又∵
46、a
47、=
48、b
49、≠0，0°≤θ≤180°，∴cosθ=∴θ=120°.答案：120°平面向量数量积的运算【方法点睛】1.平面向量的数量积问题类型及求法(1)已知向量a、b的模及夹角θ，利用公式a·b=
50、a
51、
52、b
53、cosθ求解；(2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.2.利用数量积求解长度问题的方法【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足
54、a
55、=
56、b
57、=1,a
58、·b=则
59、a+2b
60、=()(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC
