数列知识要点梳理

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1、知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：　　数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，an，…，可简记为{an}　　注意：　　（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。函数当自变量　　　　n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替　　　　，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。其中是数列的第n　　　　项，也叫做通项。　　（2）数列的特征：有序性。一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺　　　　序”是对数列本质属性的刻画。　　（3）数列

2、的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。2、数列的通项公式　　一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。　　注意：　　①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；　　②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公　　　式可以写成，也可以写成；　　③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。3、数列的表示：　　(1)列举法：如-2，-5，-8，…　　注意：数列的列举法与集合的列举

3、法不一样，主要就是有序与无序的差别。　　(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。　　(3)解析式法：用数列的通项公式an=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。4、数列的分类：　　（1）按项数：有限数列和无限数列；　　（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；　　（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；　　（4）其他数列：摆动数列、常数列。5、数列的递推式：　　如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

4、，简称递推式。　　注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。6、通项与前n项和的关系：　　任意数列的前n项和；　　　　注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：　　（1）求，　　（2）求出当n≥2时的，　　（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，　　　　否则就只能写成分段的形式。知识点二：等差数列1．概念与特征　　定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称作等差数列　　特征：（常数），或者（）。　　注意：｛｝为等差数列(n∈N※)－=d(n2,n∈N※)（d为常数）2．通项公

5、式：　　；　　注意：　　①方程观点：公式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。　　②函数观点：等差数列{}中，，是关于n的一次函数(或　　　常数函数)，一次项系数k为公差d。　　③几何意义：点(n，)共线；　　　当k=d>0时，{}为递增数列；　　　当k=d<0时，{}为递减数列；　　　当k=d=0时，{}为常数列。3．前n项和公式：　　；　　注意：　　①方程观点：公式中有三个就可以利用方程得出余下的二个。　　②函数观点：,为n的二次函数且常数项为04．等差中项　　若a、b、c成等差数列，则b称为a与c的等差中项，正数m、n的等差中项也

6、叫它们的算术平均数。5.等差数列的主要性质：　　（1）通项公式的推广：　　（2）若，则；　　特别，若，则　　说明：这条性质，还可以推广到有三项、四项……等情形。使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多。　　（3）等差数列中，若.　　（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，…组成新的等差数列。6．判定一个数列为等差数列的常用方法　　①定义法：（常数）是等差数列；　　②中项公式法：是等差数列；　　③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；　　④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。　　注意：对于探索性较强的问题，则

7、应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。7．常用结论　　（1）等差数列，前n项和为　　　　①当n为奇数时，；；；　　　　②当n为偶数时，；；。　　（2）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。　　（3）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。　　（4）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差　　　　。　　（5）等差数列中　　　　①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；　　　　②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式　　　　　来确定n。知识点三：等比

8、数列1．概念与特征：　　定义：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列