数列求和知识梳理

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1、数列求和与综合应用【考纲要求】1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；2.掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；4.能解决简单的实际问题.【知识网络】数列前n项和公式法错位相减倒序相加裂项相消分组求和综合应用与函数、方程、不等式等与几何、实际问题等【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛

2、的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列

3、有关知识解答此类应用题.数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用例1.对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。第9页共9页（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列及的通项公式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：（1）依题意：，∴∴，∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。（2），（3）令，则当时，函数单调递减；当时，

4、函数单调递增；又因，而，所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。举一反三：【变式1】已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．解析：（Ⅰ），，，第9页共9页又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．令，则，．原不等式成立．【高清课堂：函数的极值和最值388566典型例题三】【变式2】已知数列和满足：，，其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；第9页共9页（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结

5、论；解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足由得，显然矛盾，即不存在实数使得数列是等比数列。（Ⅱ）根据等比数列的定义：即又所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.类型二：数列与不等式例2.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.解析：（1）当q=1时，Sn=na1，从而，（2）当q≠1时，，从而由（1）（2）得:.∵函数为单调递减函数.∴第9页共9页∴.举一反三：【变式1】数列｛xn｝满足：x1＝0，xn＋1＝－xn2＋xn＋c(n∈N*)（I）证明：数列｛xn｝是单调递减数列的充分必要条件是（II）求的取值范

6、围，使数列｛xn｝是单调递增数列。解析：（I）必要条件当c＜0时，xn＋1＝－xn2＋xn＋c＜xn数列｛xn｝是单调递减数列充分条件数列｛xn｝是单调递减数列x1＞x2＝－x12＋x1＋cc＜x12＝0得：数列｛xn｝是单调递减数列的充分必要条件是c＜0（II）(i)假设｛xn｝是递增数列，由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c。由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.由xn＜xn＋1＝－xn2－xn＋c知，对任意n≥1都有　①注意到　②由①式和②式可得即由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有.③反复运用③式，得.和两式相加，知对任意n≥1成立.根据指数函数

7、的性质，得，故.（ii）若，要证数列{xn}为递增数列，即xn＋1－xn＝－xn2＋c＞0.即证对任意n≥1成立。下面用数学归纳法证明当时，对任意n≥1成立.（1）当n＝1时，x1＝0＜，结论成立.（2）假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即：，因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立.故对任意n≥1成立.因此，xn＋1＝xn－xn2＋c＞xn，即{xn}是递增数列.由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.第9页共9页【变式2】设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列

8、的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．