高考数学总复习 数列求和及其综合应用基础知识梳理.doc

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1、数列求和与综合应用【考纲要求】1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；2.掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；4.能解决简单的实际问题.【知识网络】数列前n项和公式法错位相减倒序相加裂项相消分组求和综合应用与函数、方程、不等式等与几何、实际问题等【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体

2、几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列

3、的极限存在与否等等.有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用例1.若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.解析：由韦达定理得，，∴，得，∴数列与均成等比数列，且公比都为，由，，得,∴,(I)当为偶数时，令（）,.(II)当为奇数时，令（），.举一反三：【高清课堂：函数的极值和最值典型例题三】【变式1】已知

4、数列和满足：，，其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足由得，显然矛盾，即不存在实数使得数列是等比数列。（Ⅱ）根据等比数列的定义：即又所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.【变式2】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求

5、数列及的通项公式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：（1）依题意：，∴∴，∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。（2），（3）令，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；又因，而，所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。类型二：数列与不等式例2.设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.（I）求证：{an}是首项为1的等比数列；（II）若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件.解

6、析：（Ⅰ）证明：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1因a2≠0，故a1＝1，得又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn+1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1两式相减得，Sn+2－Sn+1＝a2(Sn+1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1，由a2≠0，知an+1≠0，因此综上，对所有n∈N＊成立从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列。（II）证明：当n＝1或n＝2时，易知，等号成立，设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由（Ⅰ）知，a1＝1，an＝a2n－1，所以要证的不等式化为1＋a2

7、＋a22＋……＋a2n－1≤(1＋a2n－1)（n≥3）即证：1＋a2＋a22＋……＋a2n≤(1＋a2n)（n≥2）当a2＝1时，上面不等式的等号成立；当－1＜a2＜1时，a2r－1与a2n－r－1（r＝1,2，……，n－1）同为负；当a2＞1时，a2r－1与a2n－r－1（r＝1,2，……，n－1）同为正。因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(a2r－1)(a2n－r－1)＞0即a2r＋a2n－r＜1＋a2n(r＝1,2，……，n－1)上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a22＋……＋a2n－1)＜

8、(n－1)(1＋a2n)由此得1＋a2＋a22＋……＋a2n＜综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立。举一反三：【变式1】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，.(1)证明数列{an-n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)证明不等式，对任意皆成立.解析：(1)证明：由已知，∴又a1-1=1，∴数列{an-n}是首项为1，