数列求通项与求和重难点梳理

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1、数列求通项与求和重难点梳理山东省淄博市博山区实验中学张健发表于《教学考试》一、求数列的通项1.已知数列是等差、等比数列，直接套用公式求通项【例1】已知各项为正数的等比数列的前项和，对任意均有成立.求等比数列的通项.【解析】（Ⅰ）由已知，得②-①，得，所以，又因为等比数列各项为正数，所以.又由①，得，所以.所以.2.已知数列的递推公式求通项（1）公式法：“从右向左”利用公式.【例2】已知为数列的前项和，，且，求数列的通项.【解析】因为，又因为，所以.当时，由，①得，②①②，得，得，即.所以数列是以首

2、项，为公差的等差数列.所以.（2）衍生法：用递推公式与其衍生形式相减或相除.【例3】已知数列满足：，若数列满足：，，求数列的通项公式.【解析】由，①得，②②－①，得，即.所以．【评注】有的递推公式取不同的值，其长度不变，是“无弹性”的，如例2；有的递推公式取不同的值，其长度改变，是“有弹性”的，如例3.（3）累加法：若，则.（4）累乘法：若，则.（5）化归法：若数列既不是等差数列也不是等比数列，求其通项时一般要采取“迂回战术”，即构造（题目中常常已构造好）一个与数列有关的等差数或等比数列，使，先求

3、，再解出.【例4】已知数列中，，证明数列是等比数列，并求.【解析】设，则.因为.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，解得.二、求数列的前n项和1.“从左向右”利用公式.【例5】已知为数列的前项和，，且，数列的前项和.【解析】当时，由，得，即.所以数列是以为公差的等差数列.又因为，所以，即.【评注】例2和例5的已知条件一样，求解时用的都是公式，值得注意的是，前者是“逆用”公式，后者是“正用”公式.2.倒序相加法：如果数列首末两端等“距离”的两项的和相等时常可用此法.比如，等差数列的前项公式就

4、是用此法推导的.，①，②①②，得，所以，即.3.错位相减法：数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的常可用此法.4.裂项相消法：如果将数列的每一项分解后求和就可以消去诸多项而剩余有限项时常可用此法.【例6】（1）数列满足：，则数列的项和___________.（2）数列满足：，则数列的项和___________.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.【评注】“裂项”只是一种手段，“相消”才是的目，因此，“裂项”时思路要开阔，不拘一格.5.分组转化法：若数列是由若干个等差数列

5、、等比数列或可求和的数列组成时可用此法．【例7】设，求数列的前项和.【解析】因为，所以时，，即；时，，即.所以.又因为，，，，，…，所以数列的前4项为正，从第5项开始往后各项都为负.①当时，；②当时，.所以.【例8】设，求数列的项和.【解析】（1）当为偶数时，.设，①则，②①-②，得：，，得：.所以，.（2）当为奇数时，为偶数.综上，.【评注】例7和例8主体上采用的都是“分组转化法”，具体环节上，例7采用的是直接套用等差、等比数列前项和公式的方法，例8采用的是“错位相减法”、“裂项相消法”.