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《§5.3 Helmholtz 方程的Green函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§5.3Helmholtz方程的Green函数含时Helmholtz方程：2()v∂ur,t22()()vv=a∇ur,t+fr,t（1）2∂tvv−iωt当源为谐振源，即f(r,t)(=fr)e，公式（1）变为222()v()v−ωu=a∇ur+fr，整理得2()v2(v)∇ur+ku=−fr（2）22ω其中，k=为波数。（2）式即为有源Helmholtz方程。2a2du2一维Helmholtz方程：+ku=−f()x2dx22dudu2二维Helmholtz方程：++ku=−f()x,y22dxdy222dududu2三维Helmholtz方程：+++ku=−f()x,y,z222dxdy
2、dz对无限空间来说，只要得到上述三个Helmholtz方程相对应的Green函数方程的解，然后再利用vvvvu()r=f()(rGr,r)dV（3）∫∫∫Ω000即可得到一维、二维、三维Helmholtz方程的解。因此，下面，我们将针对一维、二维、三维Helmholtz方程对应的Green函数方程的解分别进行讨论。一、一维Helmholtz方程对应Green函数方程的解一维Helmholtz方程2du2()+ku=−fx（4）2dx其对应的Green函数方程：2dG2()+kG=−δx−x（5）20dx利用傅里叶变换，可得2~()2~()−iωx0−ωGω+kGω=−e~e−iωx0∴G()ω
3、=（6）22ω−k利用傅里叶逆变换−iωx01∞eiωxG()x=edω2π∫−∞ω2−k2iω()x−x01∞e=∫dω2π−∞()ω−k()ω+k⎧iikx−x0e,Im(k)>0⎪⎪2k=⎨⎪−ie−ikx−x0,Im(k)<0⎪⎩2k因此，一维Helmholtz方程对应Green函数方程的解⎧iikx−x0e,Im(k)>0()⎪⎪2kGx=⎨（7）⎪−ie−ikx−x0,Im(k)<0⎪⎩2kiω(x−x0)1∞e补充：利用留数定理求解积分∫dω,Im(k)>02π−∞()ω−k()ω+k（1）当x−x>0时，在x轴上半平面建立闭合曲线路径0k∞eiω()x−x0eiz(x−x0)∫
4、dω+∫dz=2πiResf()k−∞()ω−k()ω+kCR()z−k()z+keiz(x−x0)由约当引理得，当x−x>0，上半圆的积分limdz=0，因此0∫R→∞CR()z−k()z+k∞eiω()x−x0eiz(x−x0)πidω=2πiResf()k=2πilim(z−k)=eik()x−x0∫−∞()ω−k()ω+kz→k()z−k()z+kkiω(x−x0)1∞eiik()x−x0∴∫dω=e2π−∞()ω−k()ω+k2k（2）当x−x<0时，在x轴下半平面建立闭合曲线路径，可得0k−∞eiω()x−x0eiz(x−x0)∫dω+∫dz=2πiResf()−k∞()ω−k()
5、ω+kCR()z−k()z+keiz(x−x0)由约当引理得，当x−x<0，下半圆的积分limdz=0，因此0∫R→∞CR()z−k()z+kiω()x−x0∞e()πi−ik()x−x0∴∫dω=−2πiResf−k=e−∞()ω−k()ω+kkiω()x−x01∞eiikx−x综上，∫dω=e0,Im(k)>02π−∞()ω−k()ω+k2kiω()x−x01∞ei−ikx−x同理可得，∫dω=e0,Im(k)<02π−∞()ω−k()ω+k2k二、二维Helmholtz方程对应Green函数方程的解1、直角坐标系下2()2()∂Gx,y∂Gx,y2()()()++kGx,y=−δx−xδ
6、y−y2200∂x∂y（8）对其进行傅里叶变换，22~2~−i(kxx0+kyy0)()−k−kG()()k,k+kGk,k=−exyxyxy~−e−i()kxx0+kyy0（9）⇒G()k,k=xy222k−k−kxy然后（9）式进行傅里叶逆变换得−i()kxx0+kyy01∞−eikxx+ikyyG()x,y=edkdk2∫∫−∞222xy()2πk−kx−ky（10）iky()y−y01∞ikx()x−x01∞e=−edkdk∫−∞x∫−∞222y2π2πk−k−kxy其中（10）式中后面的积分iky()y−y0iky(y−y0)1∞e1∞edk=−dk2π∫−∞k2−k2−k2y2π∫
7、−∞2222yxy(ky−k−kx)(ky+k−kx)⎧iik'y−y'−ey0,Im()k>0（11）⎪'y2k⎪y=⎨i−ik'y−y'⎪ey0,Im()k<0'y⎪2k⎩y'22其中，k=k−kyx将（11）式代入（10）式中，得()'ikxx−x0+ikyy−y0i∞e''22G()x,y=dk,Im(k)>0,k=k−k（12）∫xyyx4π−∞ky2、极坐标系下以ρ作为坐标原点，R=ρ
