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1、课标版理数§2.6 函数与方程1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使①f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.知识梳理(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与②x轴有交点⇔函数y=f(x)有③零点.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有④f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间⑤(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得⑥f(c)=0,这个⑦c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
2、的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点⑧(x1,0),(x2,0)⑨(x1,0)无交点零点个数⑩两个一个无4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点x1;第三步,计算f(x1):a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;b.若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));c.若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));第四步,判断是否达到精确度ε:若
3、a-b
4、
5、<ε,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.1.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m的取值范围是()A.(-2,6) B.[-2,6]C.{-2,6} D.(-∞,-2)∪(6,+∞)答案 DΔ=m2-4(m+3)>0,解得m>6或m<-2.2.已知函数f(x)=x3-2x2+2,则下列区间内必存在零点的是( )A.B.C.D.答案 C ∵f(-1)=-1<0,f=>0,∴f(-1)·f<0,∴在区间内必存在零点.3.为了求函数f(x)=2x-x2的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量x和函
6、数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示:则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)答案 C 由题表可知,f(1.8)>0,f(2.2)<0,故选C.x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.24-0.24-0.70-1.004.函数f(x)=lgx-的零点所在区间是( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,10)答案 C 令
7、g(x)=lgx,h(x)=,g(x)与h(x)图象交点的横坐标即为f(x)的零点,易知g(2)h(3),结合图象知零点所在区间为(2,3).5.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.答案 (2,2.5)解析 令f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1<0,f(2.5)=2.53-10>0,f(3)=16>0.故下一个有根的区间是(2,2.5).典例1 (1)(2013天津,7,5分)函数f(x)=2x
8、log0.5x
9、-1的零点个数为( )A.1
10、 B.2 C.3 D.4(2)(2014北京一〇一中学模拟,9)“函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零点”的充要条件是.答案 (1)B (2)a≥3或a≤-解析 (1)易知函数f(x)=2x
11、log0.5x
12、-1的零点个数⇔方程
13、log0.5x
14、==的根的个数⇔函数y1=
15、log0.5x
16、与y2=的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.典例题组函数零点的求解与判断(2)函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零点等价于直线y=ax+3在[-1,2]上与x轴有交点,所以
17、f(-1)·f(2)≤0,即(-a+3)(2a+3)≤0,解得a≥3或a≤-.1.判断零点个数的方法:①直接求零点:令f(x)=0,求解方程,有几个解就有几个零点;②利用零点存在性定理.利用定理不仅要求函数图象在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有几个零点;③画两个函数的图象,有几个交点,就有几个零点.2.函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数零点的个数,即函数图象与x轴的交点的个数.1-1 (1)函数f(x)=的零点个数为;(2)函
18、数f(x)
