刚体力学lilunlixu(I)

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1、复习与回顾(一）转动惯量定义转动惯量列表薄圆环对中心轴细圆环对任意切线圆柱体对柱体轴线圆柱环对柱体轴线细杆对垂直中心轴实圆柱对中心直径实心球对任意直径薄球壳对任意直径1会聚定理:复习与回顾平行轴定理2惯量椭球方程:复习与回顾3（四）惯量主轴如果适当旋转坐标系的话，可以消除交叉项，对于惯量张量来说，也就是可以使其对角化。定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的坐标轴为惯量主轴。复习对一方阵A的对角化过程。对A进行对角化，实际就是要求出A的本征值。如果λ是A的本征值，则对于一个非零矢量x，有4要使该式成立，则该行列式化简后就得到λ的n次多项式，由此可求解出特征根，把

2、代入*式就可得其对应的本征矢量就是A的相似矩阵。对应于惯量张量，如果对角化后三个本征值为：5几何意义：如果移动x轴让其通过则此时的惯量张量就成为了。6关于惯量主轴的讨论：①惯量主轴垂直于惯量椭球面；证明：先复习曲面的梯度与曲面法线的关系：称为曲面上P点的梯度，与该点的法线方向相同。7则　　　点的法线方向是如果设过原点的矢量　的方向与椭球面的法线方向相同，则：如果设　与椭球面的交点为　　　，则上式等价于：代入的三个分量，得：8如果λ为惯量张量的特征值，　　　　为其所对应的特征矢量，则上式即为惯量张的特征方程。反推，因为本征值、本征矢满足此方程，故通过坐标原点及这一点的轴

3、即为一主轴，故主轴平行于该点的法线方向，因此惯量主轴垂直于惯量椭球面。②如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：与几何中的标准椭球方程相比较9③x轴为主轴的充要条件是含有的惯量积为零。证明：必要性：设x为主轴，由于x轴与椭球面的交点坐标为充分性：设此时惯量椭球方程为：10由于x轴与椭球面的交点为：则故椭球面在（x,0,0）点的法线方向为：说明x坐标轴与椭球面交点的法线方向与x轴方向一致，即x轴垂直于椭球面，故x轴为惯量主轴。11④如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其主轴：a.如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量椭球的主轴；若x轴为对称轴，如果存在，一定有

4、，故注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。12b.如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量主轴之一将垂直于该平面；如果对称面为xoy平面，则对刚体中的质点来说，必有相同质量的与之对应，故：因此和xoy平面垂直且通过点的轴将是对称面与该轴交点的惯量主轴。13c.通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为该点的惯量主轴。和质心联系的椭球称作中心惯量椭球，中心惯量椭球的主轴称为中心惯量主轴。设C点为质心，x、y、z为中心惯量主轴，在z上取一点P，，过P作分别平行于x、y、z轴，要证明是和P点联系的惯量椭球的主轴。14证明：

5、∵x、y、z为中心惯量主轴，则：刚体上的任一点在新坐标系下的坐标为，则：联系的惯量椭球的主轴。15例：质量为m，边长分别为的长方形均质薄板，求其对角线的转动惯量。解法一：如图建立坐标系，则由对称性知，轴均为主轴，故:16解法二：如图建立坐标系，则x，y不是主轴，z是主轴17解法三：按定义求：18