刚体力学lilunlixu

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1、复习与回顾（四）惯量主轴定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的坐标轴为惯量主轴。几何意义：如果移动x轴让其通过则此时的惯量张量就成为了。1复习与回顾关于惯量主轴的讨论：①惯量主轴垂直于惯量椭球面；②如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：③x轴为主轴的充要条件是含有的惯量积为零。2④如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其主轴：a.如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量椭球的主轴；复习与回顾注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。b.如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量主轴之一将垂直于该平面；3c.通过中

2、心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为该点的惯量主轴。和质心联系的椭球称作中心惯量椭球，中心惯量椭球的主轴称为中心惯量主轴。设C点为质心，x、y、z为中心惯量主轴，在z上取一点P，，过P作分别平行于x、y、z轴，要证明是和P点联系的惯量椭球的主轴。4证明：∵x、y、z为中心惯量主轴，则：刚体上的任一点在新坐标系下的坐标为，则：联系的惯量椭球的主轴。5例：质量为m，边长分别为的长方形均质薄板，求其对角线的转动惯量。解法一：如图建立坐标系，则由对称性知，轴均为主轴，故:6解法二：如图建立坐标系，则x，y不是主轴，z是主轴7解法三：按定义求：8（四）刚体的运动定理刚体是一特殊的

3、质点系，故质点系的运动定理都适用于刚体。1．质心运动定理—动量定理2．角动量定理对任一动点A的角动量:9对质心C的角动量：对定点o的角动量：对任一动点A的角动量定理:10①对固定点o的角动量在体坐标系中的分量表示：对于质量连续分布的情况：11方向的分量：但一定不能写作12②对固定点的角动量定理说明：a当取主轴坐标系时，惯量张量对角化，则：13b．一般来说不共线，当且仅当沿主轴的情况下二者才共线证明：充分性:设沿x主轴，则：必要性：设共线，选主轴坐标系14要求:分以下几种情况：时，要求：则就必须有两个分量为零，设，则：15此时椭球面是一旋转椭球面若平面内，因椭球面是旋转椭球

4、面，故任何轴都是主轴。若此时椭球面退化为一球面，任何方向均为主轴方向。16例：一均质长方形薄板，沿一竖直边以ω作定轴转动，边长分别为a，b，求①②求AB边的中点角动量③解：①如图建立作标系，则x轴为主轴，y，z不是主轴，且，故17过E点重新建立坐标系，则：x，y，z均为主轴②求③求18