函数的简单性质---单调性

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1、第2章函数2.2.1函数的简单性质---单调性上图是我国1949年至1995年的人口，粮食总产量以及人均粮食的变化从上图的数据我们可以看出人口和粮食总产量和人均粮食是逐年增加的。能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。先下降后上升下降上升1.函数在区间上随着x的增大函数值也增大,那么在区间上任意两个不同的,试问与有什么关系?2.能推广到一般的函数在区间

2、D上随着的增大,相应的值也增大(或减小),能用数学语言与符号表示吗?当时,;当时,.思考:Oxyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数,D称为f(x)的单调区间.单调增函数的定义:当x1

3、2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1单调区间判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；（1）如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有

4、单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;xyo答案：(不是)注意判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；（3）x1,x2取值的任意性yxO12f(1)f(2)例1下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f（x）是增函数还是减函数.单调递增区间：[-2,1],[3,5]单调递减区间：[-5,-2),(-3,3)看下列函数图象,下列

5、各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间.图1图3图2没有单调区间减区间增区间没有单调区间画出函数图象(1)这个函数的定义域是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎么样的?函数的定义域为_____________若将改为,则函数的单调性又如何?xy0探究在函数是单调递减的，在函数也是单调递减的。例2.物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积减小时,压强p将增大,试用函数的单调性证明之.则，且所以函数在区间上是减函数.证明：设是定义域上任取两个实数,且又,于是取值作差变形定号结论证明函数单调性的一

6、般步骤:取值作差变形定号结论练习2.证明函数在上是减函数.1.证明函数在上是减函数.证明证明(2)一次函数的单调性又如何?(1)反比例函数的单调性？(可分k>0,k<0讨论)探究思考:1.若在R上是减函数,且,求实数m的取值范围.2.观察下列函数图象,除了单调性,你还能发现函数的哪些性质?小结1.函数单调性的定义中有哪些关键点？2.判断函数单调性有哪些常用方法？3.你学会了哪些数学思想方法？证明：在区间上任取两个值且则，且所以函数在区间上是减函数.证明：在区间上任取两个值且则，且所以函数在区间上是减函数.