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《9.3.4函数的性质—函数的单调性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课题：3.4函数的性质—函数的单调性教学目的：(1)了解单调函数、单调区间的概念:能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思(2)理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间(3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步
2、骤先分别画函数和的图象.的图象如图1，的图象如图2.⒉引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.这时我们就说函数==在[0,+)上是增函数.图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈
3、增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函
4、数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“<或>,”改为“或,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与
5、函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性
6、问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且<，则－=(3+2)-(3+2)=3(－),由0,又由<,得－>0,于
7、是－>0,即>∴在(0,+)上是减函数.例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：∵，对称轴∴若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.四、练习：1.判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设,∈R，且<，∵－=(-3+2)-(-3+2)=3(-),又<,∴－>0,即>.∴在R上是减函数.2.判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.解：设,∈(-，0)，且<，∵－=－==,由,∈(-，0)，得>0,又由<,得－>0,于是－>
8、0,即>.∴=在(0,+)上是减函数.能否说函数=在(-,+)上是减函数?答:不能.因为=0不属于=的定义域.说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.五、小
