函数的单调性及其极值

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1、一、函数单调性的充分条件第三章 导数的应用第二节 函数的单调性及其极值二、函数的极值及其求法函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢?一、函数单调性判别法函数单调增加函数单调减少观察结果函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系?定理1设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1)若当x(a,b)时,f(x)>0,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若当x(a,b)时,f

2、(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调递减.一、函数单调性的充分条件例:函数的单调性是()在区间上都是单调增加的;在区间上都是单调减少的;在区间上单调增加,在区间上单调减少;在区间上单调减少,在区间上单调增加.解:讨论区间是0定义1设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义,若对于该邻域内异于x0的x恒有(1)f(x0)>f(x),则称f(x0)为函数f(x)的极大值,x0称为f(x)的极大值点;(2)f(x0)

3、数的极值,极大值点、极小值点统称为极值点.二、函数的极值及其求法显然,在图中,x1,x4为f(x)的极大值点,x2,x5为f(x)的极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5定理2(极值的必要条件)设函数y=f(x)在x0处可导,且f在点处取得极值,则f(x0)=0.导数为零的点为驻点.定理3定理4(1)当f(x0)>0时,则x0为极小值点,f(x0)为极小值;(2)当f(x0)<0时,则x0为极大值点,f(x0)为极大值.若f(x0)=0,且f(x0)0,设函数y=f(x)在x0邻域内二阶导数存在,

4、例1解极大值极小值(3)因为当x(,-1)时,f(x)>0,x(1,1)时,f(x)<0,x(1,+)时f(x)>0,所以(,-1)和(1,)是f(x)的递增区间,(-1,1)是f(x)的递减区间.为简便直观起见,我们通常将上述讨论归纳为如下的表格:x(,-1)(-1,1)(1,)f(x)-f(x)其中箭头,分别分表示函数在指定区间递增和递减.例2解例3求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值.解(1)定义域为(-,+).f(x)=(x-1)(x-2)2(5x-7)

5、.所以由f(x)=0可得f(x)的三个驻点:该函数在定义区间内无不可导的点,上述驻点将定义区间分为四个子区间(2)当x(-,1)时,f(x)>0;f(x)>0;当x(2,+)时,f(x)>0.因此,由定理3可知,x=1为极大值点,x=2不是极值点(因为在x=2的两侧f(x)同为正号).(3)计算极值极大值f(1)=(1-1)2(1-2)3=0,有时,可以将整个解题过程以表格形式表示:x(-,1)f(x)12(2,+)+0-0+0+f(x)极大值0无极值例4求函数f(x)=x4–10x2+5的极值

6、.因为解(1)定义域为(-,+).f(x)=4x3–20x=4x(x2-5),所以,由f(x)=0可得该函数的三个驻点所以有由定理4可知:(2)因为f(x)=12x2–20,(3)计算极值:

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