函数的单调性与极值

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1、函数的单调性与极值目的要求1．帮助学生掌握导数应用的知识网络，及解决问题的思想方法。2．能较熟练地应用求导数解决有关函数最值的实际问题。3．培养学生数学建模的能力，以及应用知识解决实际问题的能力。内容分析1．导数应用的知识网络结构图：2．基本思想与基本方法①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践的辩证关系，具有较大的实践意义。②求有导数函数y=f（x）单调区间的步骤：i）求f′（x）；ii）解不等式f′（x）＞0（或f′

2、（x）＜0）；iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。③证明有导数函数y=f（x）在区间（a，b）内的单调性：i）求f′（x）；ii）解不等式f′（x）＞0（或f′（x）＜0）；iii）确认f′（x）在（a，b）内的符号；iv）作出判断。④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：i）求导数f′（x）；ii）求方程f′（x）=0的全部实根；iii）检查f′（x）在方程f′（x）=0的根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在（a，b）

3、内有导数，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：i）求f（x）在（a，b）内的极值；ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确定f（x）的最大值与最小值。⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定最值，不必再与端点的函数值作比较。教学过程1．归纳本节的知识网络（用多媒体打出知识网络结构图）2．师生共同讨论归纳本节内容的基本思想与基本方法3．例题选讲例1求函数的单调递增区间。板书讲解：，令6（x-1）（x-2）＞0，解得：x>2或x＜1。故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1）或（2，

4、+∞）。例2求函数的极值。板书讲解：，令f′（x）=0，解得：。由于x＜-1时，；-13时。∴。例3求证：函数＞0；在区间内单调递减。板书讲解：，∵∴。令，，又∵，∴在内有。故函数f（x）在区间内单调递减。例4如图，在二次函数的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积。课件讲解：i）在“几何画板”平台上展示题目与图形。ii）设B（x，0）（0

5、最大值为________，最小值为________。②求函数的单调区间。③设函数当当时有极值。求：i）f（x）的表达式；ii）f（x）的极值。④已知函数。求f（x）的极大值与极小值。⑤已知函数为偶函数，它的图象过点A（0，-1）且在x=1处切线的方程为2x+y-2=0。求：i）函数f（x）的解析式；ii）函数y=f（x）的最大值及相应的x的值。参考答案①3，-9②f（x）在区间（-∞，）、（-1，1）、内是增函数；在区间、内是减函数。③i）；ii）当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=16；当时，f(x)有极小值。④若a>0，则当x=-a时，f

6、(x)的极大值为。当a=3a时，f（x）的极小值为；若a<0，则当x=3a时，f（x）的极大值为。当x=-a时，f（x）的极小值为。⑤i）；ii）。