函数的单调性与极值(2)

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1、本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com11.4函数的单调性与极值最值一、明确复习目标1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点处取极值的必要条件和充分条件，会求一些实际问题（单峰函数）的最大值与最小值。二．建构知识网络1.函数的单调性（1）函数y=f(x)在某个区间内可导，若f'(x)0，则f(x)为增函数；若f'(x)0，则f(x)为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。①确定函数f(x)的定义区间；②求f'(x)，令f'(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)

2、的间断点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f'(x)在各小区间内的符号，根据f'(x)的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。例如：求函数y=(x2－1)(x2－4)单调区间。2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。（2）求可导函数f(x)极值的步骤①求导数f'(x)；②求方程f'(

3、x)=0的根；③检验f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。3.函数的最大值与最小值（1）设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在[a,b]上的最值可分两步进行：①求y=f(x)在（a,b）内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2）若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或递减），则f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函

4、数的最大值（或最小值）。三、双基题目练练手1．(2005广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为（）A．B．C．D．（0，2）2．函数y=1+3x－x3有A.极小值－2,极大值2,B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1,D.极小值－1,极大值33．(2005全国Ⅰ)函数f(x)=x3+ax2+3x－9已知f(x)在x=－3时取得极值，则a=（）A．2B．3C．4D．521世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com4.函数y=

5、－2x（x≥0）的最大值为_____________.5.（2006北京）已知是上的减函数，那么的取值范围是6.如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_____________简答:1－4.DDD；4.y′=－2,当0＜x＜时，y′＞0,为增函数.当x＞时，y′＜0,是减函数.∴x=时，y有最

6、大值.5.；6.当x∈（4,5）时,恒有f′（x）＞0.答案:③四、经典例题做一做【例1】已知函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］.（1）若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间（0,1］上的最大值.分析:（1）要使f（x）在（0,1］上为增函数，需f′（x）＞0,x∈（0,1）.（2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.当a=－1时，f′（x）=－2+对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f

7、（x）在（0,1］上为增函数，∴a≥－1.（2）由（1）知,当a≥－1时,f（x）在（0,1］上为增函数,21世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com∴［f（x）］max=f（1）=2a－1.当a＜－1时，令f′（x）=0得x=,∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′（x）＞0;＜x≤1时，f′（x）＜0.∴f（x）在（0,）上是增函数，在（,1]减函数.∴［f（x）］max=f（）=－3.解法点评:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用

8、导数的知识解决较简单.【例2】(2006天津)已知函数，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ<2π．（1）当时co