函数的单调性与极值理

《函数的单调性与极值理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、3．3　函数的单调性与极值一、学习要求1．掌握用一阶导数的符号判别函数的单调性2．会求函数的单调区间3．理解函数的极值与极值点的概念4．熟练掌握求函数极值的方法，了解极值存在的必要条件5．知道极值点和驻点的区别和联系6．初步掌握实际问题中最大值和最小值的求法7．理解边际与弹性的概念，会利用导数讨论一些简单的经济问题8．了解极值和最值的区别和联系二、疑难解析（一）基本概念1．函数单调性的判定定理：设函数在内可导．①如果在内，则函数在内单调增加，②如果在内，则函数在内单调减少．定理中的开区间换成其他区间（包括无穷区间），结论仍然成立．在利用定理解题时，需注意：①考虑函数的定义域；②

2、在解题过程中，列成表格更能清楚地说明问题③与换成与（等号只在个别点成立），上述定理的结论是否仍然成立。一般地，确定函数单调区间的步骤是：①求函数的定义域；②求导数，并进一步求出的不可导点与驻点；③用②中的点对定义域进行划分；④在每个开区间内判定的符号，由上述定理得出相应的结果。2．极值的概念设函数在的某邻域内有定义，如果在该邻域内任取一点（），均有，则称是函数的一个极大值，称为的极大值点；同样，如果在该邻域内任取一点（），均有，则称是函数的一个极小值，称为的极小值点．函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．要注意函数的极值与最值的区别：这是两个不同的概念

3、。极值是一种局部性的概念，它只限于与的某邻域的函数值比较；而最大值、最小值是一个整体概念，它是就整个区间的函数值比较来说的．函数的极大值不一定是函数的最大值，函数的极小值也不一定就是函数的最小值；一个函数在某个区间上可能有若干个极值点，在这些点上，有些极小值可能要大于极大值。3．极值点与驻点的区别与联系如果函数在点可导，且在点处取得极值，则必有．可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点．连续而不可导的点也可能是极值点．4．函数极值的判定（极值的第一充分条件）设函数在点的某个邻域内可导，且．（1）如果当时，；当时，，则函数在处取得极大值；（2）如果当时，；当时

4、，，则函数在处取得极小值；（3）如果在的两侧，具有相同的符号，则函数在处不取得极值．（极值的第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数，且，，则（1）当时，函数在点处取得极大值；（2）当时，函数在点处取得极小值．看起来，第二充分条件比第一充分条件要简单。在利用第二充分条件解题时，需注意：当时，第二充分条件定理失效，在这种情况下，要利用第一充分条件来判断函数的极值。对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断。一般地，求函数的极值点和极值的一般步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求，解方程，求出驻点，找出使不存在的点；(3)用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区

5、间；列表考察在各个子区间内的符号，判定出函数在子区间上的单调性，也就得到了极值点；(4)求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值．（二）基本运算1．判断函数的单调性或单调区间例1判断函数的单调性解：在定义域上连续，，且只有在处等于0，故在上单调增加。例2讨论函数的单调区间解：函数的定义域为令，得，，，将定义域分成三个区间，，，可列表讨论如下：12+0-0+增加减少增加即函数的单调增区间为：，；单调减区间为：2．利用函数的单调性证明不等式例3证明当时，．证明：令，则．又（），所以函数在区间上单调增加．因此，当时，，即．3．求函数的极值例4求的极值解：函数的定义域为令，得，，列

6、表讨论如下：-13+0-0+增加极大值10减少极小值-22增加即函数在处取得极大值，在处取得极小值．例5求函数在区间上的极值解：函数的定义域为令，得，，又因为，故，所以在处有极大值，在处有极小值．三、自测题自测题（一）Ⅰ、填空题1．可导函数的极值点一定是函数的________2．设函数在（a，b）内可导，如果，则函数在（a，b）内单调______;如果，则函数在（a，b）内单调______;如果，则函数在内是_____;3．函数的单调增区间是_________，单调减区间是_________．4．函数在内单调增加，则a_______．5．函数的极小值点是________．6．函

7、数在_______处取得极大值_______,在_______处取得极小值_______．Ⅱ、单项选择题1．下列说法正确的是（）A．函数的驻点一定是极值点B．函数的极值点一定是驻点C．函数的极大值必大于极小值D．极值点只能在定义区间内部取得2．点是函数的（）A．驻点但非极值点B．极值点但非驻点C．驻点且是极值点D．非驻点也非极值点3．设，则（）A．在内单调减少B．在内单调增加C．在内单调减少D．在内单调增加4．的单调区间是（）A．，B．C．D．5．函数在区间上的极小值点为（）A．B．C．D．