函数的单调性与极值理(1)

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1、§3.2函数的单调性及其极值教学目的：理解函数的单调性，凹凸性、极值、拐点的概念，让学生看到导数在解决这些问题中所起的作用，会判断函数的单调性，会求极值；会判断区间的凹凸性，会求拐点；培养学生动态的数学观与静态的数学观意识。教学难点：极值与拐点的充分条件与必要条件。教学方法：启发讲授式（合情推理与演绎证明并用）教学过程：函数的单调性是函数的重要性质之一，因为它在求极值，证明不等式等方面都有其重要的意义。在中学里已经研究过，但当时由于受到方法的限制，研究得既不深刻，又不全面，而且计算繁琐，也不易掌握其

2、规律。例证在R上是单增的在中学（）（起码要分三种情况：现在我们已学过导数，那么我们看看能否用导数这个高级工具处理单调性的一些问题。首先观察：（1）（2）（3）（4）问题：结论Ⅰ图1—4函数有什么性质1—23—4Ⅱ导数有什么变化？我们把上面观察得到的事实，用语言叙述为：定理1.设函数在区间内可导（1）若，当时，则在内单调递增；（2）若，当时，则在内单调递减。分析：对于归纳出的结论，能否成为定理在数学中是需要证明的。那么如何证明呢？即若则证明：设由微分中值定理，因为所以于是因为所以即所以在内单调递减，同

3、理可证（2）例1证明：在R上单增。证：，由定理1，在R上单调增加。（5）例2证明在内单减，在内单增。证：，，在内单减，，在内单增分析：从例2可以看出，，，是单增单减的分界点。以上两题，给出具体函数在具体区间上的单调性定理。例3求函数的单调区间。思考：（1）与例1、例2有什么不同？（区间没给出）（2）什么样的量可以把区间分为单调区间？（分点）步骤：（1）求的定义域（2）求的点，不存在的点，把定义域分成若干个子区间（3）由定理，判别在子区间的符号（4）确定单调区间解：（1）的定义域为（2）令，，将分成（

4、3）_（4）所以，的单增区间为，，单减区间为。例4考察的单调性。从图像上看出，，不存在。思考：这个例子告诉我们一个什么情况？不存在的点也可能是单调区间的分界点。为此，修正步骤（1）。例5讨论的单调性。解：（1）的定义域为（2）令此外，为的不可导点。于是，，将分成（3）_（4）所以，的单增区间为，，单减区间为。补例证明：，有分析：即，即证：设，，由单减定义：，而所以故二、函数的极值及其求法1.提问：在中学里已经学过极值，那么极值的定义是什么？观察Ⅰ：如图（1）请找出函数的极大值和极小值。极大值，极小值

5、。（1）从图（1）可以看出，极值是一个局部的、邻域的概念，最大（小）值（最值）是一个整体的、区间的概念，一个区间的最大（小）值只有一个，而极大(小)值可能不止一个。下面对极值下一个定义。定义1.设函数在的邻域内有定义，若对于该邻域内异于的点恒有：（1），则称为函数的极大值，为极大值点；（2），则称为函数的极小值，为极小值点；而极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。（极值是函数值，极值点是自变量的取值，用定义再验证一下）因为极值是一个邻域的概念，从图（1）可以看出，一个区间的

6、极小值可能比极大值还大。根据定义1，我们可以看到，下列函数验证：(2)(3)极小值为极小值点1(4)(5)极大值极大值点极大值极大值点在处没有极值因为在0邻域内（6）当我们明白了极值的概念之后，我们的工作是如何求函数的极值？当然定义本身已提供了一个求极值的方法，但这种方法在实际问题中是不可取的，因为的邻域内有无限多个点，用无限多个点去比较大小，显然是行不通的。既然我们现在要用导数研究这些问题，那么我们进一步：观察Ⅱ，图（1）问题2.看看在极值点导数有什么情况出现？观察图（1）发现在极值点切线平行于轴

7、，即我们把观察、发现的事实用语言叙述：定理2.（极值的必要条件）设函数在处可导，且为极值（即为极值点），则。分析：不妨设为极大值（因为没有具体表达式，不可以求导）证明：(1)设为极大值，则由定义1，必存在的一个邻域当时，因为为极大值，所以又因为在处可导，所以于是（2）为极小值的情形，可类似证明。（略）定理2告诉我们，可导函数在极值点导数为0。在数学中，我们需要研究相反的问题（逆定理），即导数为零的点一定时极值点吗？看图（6），，但点不是极值点，所以定理2是必要条件。那么定理2到底起到一个什么作用呢？

8、找出了极值的可疑点，即把在区间I上的无限多个点有可能变成有限个。至于这些点是否真为极值点，我们还需要观察Ⅲ：图（1）、图（6）。我们发现：在极值点的左右，有符号变化，而在非极值点，没有符号变化。定理3（极值的第一充分条件）设函数在的一个邻域内可微（在处可以不可微，但必须连续），若当在该邻域内小于连续地变为大于时，其导数改变符号，则为函数的极值。为函数的极值点，并且（1）若导数由正值变为负值，则为极大值点，为的极大值；（2）若函数由负值变为正值，则为极小值，为的极小值。