函数的单调性及其极值(I)

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1、一、函数单调性的充分条件第三章　导数的应用第二节　函数的单调性及其极值二、函数的极值及其求法定理1设函数y=f(x)在区间(a,b)内可微，(1)若当x(a,b)时，f(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增；(2)若当x(a,b)时，f(x)<0，则f(x)在(a,b)内单调递减.一、函数单调性的充分条件证设x1，x2为(a,b)内的任意两点，且x10，则f(x)>0，于是因为x2–x1>0，所以f(x2)–f(x1)>0，即当x2>x1时，f(x2)>f(

2、x1)，可知f(x)在(a,b)内递增.有(2)对于f(x)<0的情形,其证法与(1)的类似.确定某个函数的单调性的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求出使f(x)=0和f(x)不存在的点，并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定f(x)在各个子区间内的符号，从而判定出f(x)的单调性.例1求函数f(x)=x3-3x的单调区间．解(1)该函数的定义区间为(,)；(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得x=-1，x=1，它们将定义区间分为三个子区间：(,-1)，(-1,

3、1)，(1,)；(3)因为当x(,-1)时，f(x)>0，x(1,1)时，f(x)<0，x(1,+)时f(x)>0，所以(,-1)和(1,)是f(x)的递增区间，(-1,1)是f(x)的递减区间.为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-1,1)(1,)f(x)-f(x)其中箭头，分别分表示函数在指定区间递增和递减.解(1)该函数的定义区间为(，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf-=+-=-例2此外，显然x=0为f(x)的不可导点，分定义区

4、间为三个子区间(,0)，亦可如例1那样，以下表表示f(x)的单调性：x(,0)f(x)－f(x)定义1设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于x0的x恒有(1)f(x0)>f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)f(x0)

5、=f(x)yxOx1x2x3x4x5定理2(极值的必要条件)设函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0)为极值(即x0为值点)，则f(x0)=0.当x0xN(x0,)时，f(x0x)-f(x0)<0(x0)，因此，当x<0时，有当x>0时，有有证(1)设f(x0)为极大值，则由定义1可知，必存在x0的一个邻域N(x0,)，所以f(x)在该点处的左、右导数存在且相等，即f-(x0)=f+(x0)，因此，f(x0)=0.≥≤由于因为f(x)在x0处可微，(2)f(x0)为极小值情形的证明是类似的，从略.定理2的几何意义

6、是：可微函数的图形在极值点处的切线与Ox轴平行.定理2的重要意义在于：对于可微函数来讲，其极值点必在导数为零的那些点之中.今后，我们称导数为零的点为驻点.函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但不可导的点处取得极值.定理3(极值的第一充分条件)设函数y=f(x)在x0的一个邻域内可微(在x0处可以不可微，但必须连续)，若当x在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时，其导数f(x)改变符号，则f(x0)为函数的极值.x0为函数的极值点，并且(1)若导数f(x)由正值变成负值，则x0为极大值点，f(x0)为f(x)的极大值；(2)若导数f(x

7、)由负值变成正值，则x0为极小值点，f(x0)为f(x)的极小值.证设所述邻域为N(x0,)，且xN(x0,)，(1)若f(x)由正变负，即当x(x0-,x0)时，f(x)>0，当x(x0,x0+)时，f(x)<0，则在(x0-,x0)内f(x)递增，在(x0,x0+)内递减，又因为f(x)在x0处连续，所以当xN(x0,)时恒有f(x0)>f(x)，即f(x0)为f(x)的极大值，x0为f(x)的极大值点.若f(x)在x0处可导且f(x0)=0，但f(x)在x0的两侧同号，则x0不是f(x)的极值点，f(x)在

8、x0处不是极值.(2)f(x)由负变正的情形可类似地证明.从略.定理4(极值的第二充分条件)(1)当f(x0)>0时，则x0为极小值点，f(x0)