函数的单调性与极值(I)

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1、1、函数极值的概念2、函数极值的求法2.4函数的极大值与极小值教学目的：.理解极大值、极小值的概念.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.掌握求可导函数的极值的方法步骤.教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的方法步骤.教学难点：对极大值、极小值概念的正确理解.复习xyOx0函数单调递增函数单调递减f(x)>0f(x)=0f(x)<0１、函数的导数与函数的单调性的关系２、用导数求函数单调区间的方法步骤利用导数判断函数的单调性判定定理：设函数y=f(x)在某个区间内有导数.如果在这个区间内y´>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数;(2)如果在

2、这个区间内y´<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.xOyyf(x)abf(x)>0单调递增xOyyf(x)abf(x)<0单调递减(3)如果在这个区间内y´=0，那么y=f(x)为这个区间内的常数函数.观察下面的函数图象oxyoxyab可以看出:函数在x=a的函数值f(a)比它临近点的函数值都要大;在x=b的函数值f(b)比它临近点的函数值都要小.象这样的点我们把它叫做极值点.f(a)是函数的一个极大值,f(b)是函数的一个极小值.学习新课函数极值的概念一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x

3、0)是函数y=f(x)的一个极大值，记作：y极大值=f（x0），点x0是f(x)的一个极大值点;函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，记作：y极小值=f（x0），点x0是f(x)的一个极小值点；yxO观察与思考：在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。aby=f(x)x1f(x1)=0x2f(x2)=0x3f(x3)=0x4f(x5)=0x5换句话说,极值点处的导数都为零.但是导数为零的点不一定是极值点.如图中x=x5处不是极值点.如何根据函数

4、的导数确定函数的极值点呢?1.图中有几个极值点?2.极值与导数有何关系？4个极值点.继续观察可导函数的图象oxyoxyabf´(a)=0f´(x)>0f´(x)<0f´(b)=0f´(x)<0f´(x)>0可以看出:曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负.曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)<0f(x)>0f(x)>0f(x)<0也就是说，先求出y′=0的根，再检查y′在方程y′=0的根的左右附近的符号，就可以确定函数的极值了。函数极值的判定定理判别f(x0)是极

5、大、极小值的方法:函数极值的求法(1)确定函数的定义域；求可导函数f(x)的极值点和极值的方法步骤：(2)求导数f´(x)；(3)求方程f´(x)=0的根;检查f´(x)在方程f´(x)=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在根的右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当x变化时,y′,y的变化情况如下表:因此,当x=－2时y有极大值,并且y极大值=28/3;当x=2时y有极小值,并且y极小值=-4/3.解：函数y的定义域为(－∞,

6、＋∞)；y´=x²-4=(x-2)(x+2)令y′=0得x1=－2,x2=2例1求函数y=x3-4x+4的极值.极小值-4/3极大值28/3+-+y00y′(2,+∞)2(-2,2)-2(-∞,-2)x例2求y=(x2-1)3+1的极值.解:函数的定义域为(-∞,+∞);y′=6x(x2-1)2令y′=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1.当x变化时,y′,y的变化情况如下表:X(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′-0-0+0+y递减无递减极小值递增无递增由上表知,当x=0时,y有极小值,并且y极小值=0.关于函数极值概念的几点说明:(1)函数f(x)在点x

7、0及其附近有定义是指在点x0及其左右邻域都有定义.(2)极值点是函数f(x)定义域中的内点,因而闭区间的端点不会是函数的极值点.(3)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.一个函数在其定义域内可以有多个极值点.(4)函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值可能大于它的一个极大值.(5)可导函数的极值点一定是它导数为0的点.反之,函数的导数为0的点,不一定是该函数的极值点.因此导数为0的点仅是该点为极值点的必要条件.如:y=x