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1、第二节函数的单调性和极值一、函数单调性的判别方法二、函数极值的判别法三、函数的最大值、最小值的求法一、函数单调性的判别方法罗尔定理拉格郎日定理函数单调性的判别方法定理1罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点定理2拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间
2、(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕推论1:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.推论2：如果函数在区间(a,b)内可导，且对于(a,b)中任意有则在(a,b)内，，其中c为常数。函数单调性的判定法若定理3.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,例2.确定函数的单调区间.解:令得故的
3、单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除导数为零的点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,确定函数的单调性的一般步骤： 1、确定函数的定义域； 2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干 个子区间； 3、确定在各个子区间的符号，从而判断出的单调性。例4.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假
4、设不真!设例5.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上例6.证明不等式证法1:设中值定理条件,即因为故因此应有二、函数的极值定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,定理5(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数
5、,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,例7.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理6(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.求函数极值的一般步骤：确定定义域，并求出所给函数的全部驻点考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点求出极值点处的函数值，得到极值求函数极值的一般步骤：若函数定理6失效，应运用定理5，其步骤为：1、确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；
6、3、求出极值点处函数值，得到极值。例8.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.定理7(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理5~定理7)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.三、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值
7、最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)例11.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.(k为某一常数)例13.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时
8、运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,例14.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.用开始移动,例16.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力作解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大
