函数的极值和单调性(上课

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1、函数的极值与导数已知函数f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;【复习与思考】(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?xyo72-1解析（1）由得增区间：由得减区间：（2）函数f(x)在x=0处的函数值比其附近的函数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函数值都小xyobay=f(x)函数f(x)在x=a处的函数值f(a)比其附近的函数值都小，f/(a)=0,而且在点附近的左侧f/(x)<0，右侧f/(x)>0,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什

2、么关系?讨论ox1ax2xyox1bx2xyxa左侧aa右侧f(x)f(x)xb左侧bb右侧f(x)f(x)增增减减极大值极小值左正右负极大值，左负右正极小值yabx1x2x3x4Ox观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区

3、间的内部取得，也可能在区间的端点取得.解:∵f(x)=x2-4,由f(x)=0解得x1=2,x2=-2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：f(x)f(x)x∴当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时,y极大值=-4/3.(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3极小值-4/3例1求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；

4、如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；极大值极小值例2xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1所以，当x=-1时，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是+0--0+极大值极小值求解函数极值一般有哪些步骤？【思考交流】导数值为0的点一定是函数的极值点吗?对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.xyOf(x)x3练习2求下列函数的极值:解:令解得列表:x0f(x)+

5、单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有极小值练习2求下列函数的极值:解:解得列表:x(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习2求下列函数的极值:解:解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.习题A组4下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大

6、值?(4)函数有极小值?或题型1：图像与函数的极值1若函数在x=-1和x=3时有极值，则a=_______,b=_______-3-9题型2：含参数的函数分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根a>2或a<-12导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？XYOax1x2x3x4x5x6bY=f’(x)X2,x4为极值点X2为极大值点X4为极小值点3导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处（1）导函数

7、y=f’(x)有极大值？（2）导函数y=f’(x)有极小值？（3）函数y=f(x)有极大值？（4）函数y=f(x)有极小值？x1x2x3x4Y=f’(x)XYOX2X4X3x5X5已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数y=f(t)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点（2）如果函数y=f(t)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？y=f(t)5以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（）XYOXYOXYOXYO(1)(2)(3)(4)A(3)(4)B(1)(3)C(2)

8、(4)D(1)(2)A2若不等式对任意实数x都成立，求实数a的取值范围分析：由不等式可以知道,则要求a的范围，只要a大于函数的最大值即可