函数极限的性质(III)

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1、第三章函数极限二函数极限的性质§2函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）()xfx+¥®lim；2）()xfx-¥®lim；3）()xfx¥®lim；4）()xfxx+®0lim；5）()xfxx-®0lim；6）()xfxx0lim®它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第6）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后定理1(函数极限的唯一性)如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯

2、一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,®,(1))(0,0,0101edde<-<-<>$>"Axfxx时有当则,(2))(0,0202edd<-<-<>$Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),,min(021dddd<-<=.2)()())(())((e<-+-£---=-BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA=e定理1(函数极限的唯一性)定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界如果当xx0时f(x)

3、的极限存在,那么这极限是唯一的证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00ddexUxAxfxxoÎ">$==®.1)(1)(+<Þ<-AxfAxf.);()(0内有界在即dxUxfo定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数r0(或f(x)-r<0)证明);(,0,),A,0(,00ddexUxrArAÎ">$-=Î">使得则取设.)(rAxf=->e有.0的情形类似可证对于

4、x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且f(x)A(xx0)那么A0(或A0)定理4(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx®®££®则内有极限都存在且在时如果do,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx==®®设)1(),(0,0,0101xfAxx<-<-<>$>"edde时有当则)2(.)(0,0202edd+<<-<>$Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(

5、),1()()(,0},,,min{021'£<-<=ddddd,)()(ee+<£<-BxgxfA.,2BABA£+<的任意性知由从而ee定理5(函数极限的迫敛性)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)f(x)h(x)g(x)(2)limf(x)Alimg(x)A那么limh(x)存在且limh(x)A证明),(0,0,0101xfAxx，<-<-<>$>"edde时有当按假设.)(0,0202edd+<<-<>$Axgxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()

6、(0},,min{021xgxhxfxx££<-<=dddd,)()()(ee+<££<-AxgxhxfA.)(lim)(0Axh，Axhxx=<-®即由此得e此性质又称为夹逼准则.注意:夹逼定理示意图.的极限是容易求的与并且键是构造出利用夹逼准则求极限关fgf(x)g(x)与推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理6.极限的四则运算法则利用函数极限的性质和运算法则，我们可

7、以计算一些较复杂的极限例1求解由第一章第3节习题12，知当时有而故由迫敛性得另一方面，当时有综上，我们得到故由迫敛性又可得例2求解由及第一节例4所得的并按四则运算法则有例3求极限解对任意正整数k，当时有故例4证明证任给为使（9）即利用对数函数时的严格增性,只要（不妨设于是，令则当时，就有（9）式成立。（当解例5解先用x3去除分子及分母然后取极限例6讨论提示先用x3去除分子及分母然后取极限解:例7解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用我们将在下节讨论.例7(1),唯一性;

8、作业小结(2),局部有界性;(3),局部保号性;(4),保不等式性;(5),迫敛性;P51:1(2)(4)(6)(8),6(6),四则运算法则.